Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена.

Вернемся к формуле (21) и но предположим, что производные функции всех порядков существуют в бесконечном промежутке и удовлетворяют условиям:

(а) производные четного порядка все имеют в этом промежутке один и тот же определенный знак,

производные нечетного порядка при все стремятся к нулю.

Пусть число четное: Числа а и А мы фиксируем, (вместе с ) будем считать переменным. Дополнительный член [см. (21)] представим теперь в следующем виде:

Объединив первую из этих сумм со всеми членами формулы (21), содержащими а, в одну постоянную:

явно не зависящую от перепишем формулу (21) так:

где

Для обоснования проведенного преобразования нужно лишь еще убедиться в сходимости использованных бесконечных рядов; начнем с ряда —

Из (24) следует

По свойству функции и в силу предположения (а), все слагаемые в числителе имеют один и тот же знак, совпадающий со знаком знаменателя. Отсюда, переходя к пределу при и учитывая предположение заключаем о сходимости ряда

причем его сумма имеет тот же знак, что и выражение , и по абсолютной величине не превосходит его. Заменяя в проведенном рассуждении числа а на убедимся в сходимости ряда

а также в том, что его сумма имеет тот же знак, что и выражение а по абсолютной величине не превосходит его.

Итак, мы не только убедились в сходимости примененных бесконечных рядов, но попутно установили, что дополнительный член формулы (25) можно написать в виде:

Весьма любопытно, что постоянная в формуле (25), для которой - по самому способу ее составления - не исключена была возможность зависеть от указателя к, на деле от к не зависит! Для того чтобы в этом удостовериться, достаточно сопоставить формулы (25) и с такими же формулами, написанными для :

где

Имеем

Если перейти здесь к пределу при то - с учетом предположения - получим: Постоянная С, которую естественно было бы назвать постоянной Эйлера - Маклорена для функции кроме этой функции зависит еще от выбора а и .

Замечание. Переходя в неравенствах к пределу, нам следовало бы к знакам неравенства присоединить знаки равенства и для множителя в в (25 писать Что равенство нулю исключается, это сразу ясно - сумма бесконечного ряда с членами одного знака не может быть нулем. Если же предположить то - при увеличении в формуле (25) номера к на единицу - имели бы что (как мы только что разъяснили) невозможно. Итак, на деле: как мы и писали.

Напишем вместо конечной суммы (25) бесконечный ряд. Мы получим ряд Эйлера-Маклорена в следующем виде:

[Знак здесь также имеет лишь условный смысл!] В силу предположения (а), все производные с возрастанием изменяются в одном направлении; а так как, по предположению при они стремятся к нулю, то все они имеют один и тот же знак. Отсюда [и из (25] заключаем, что и в новой форме ряд Эйлера - Маклорена обвертывает сумму стоящую справа.

Замечание. Сделаем, в заключение, пояснение относительно возможности определить саму постоянную С, фигурирующую в написанном выше разложении. Выбрав некое для которого и сумма и интеграл вычисляются без труда, можно числа С получить о вертывающий его ряд:

который во многих случаях и позволяет найти приближенное значение С.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление