Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

469. Формула и ряд Стирлинга.

В качестве примера использования полученных в предыдущем п° разложений применим их к вычислению

Взяв и (заменив и на мы положим

и условия (а) и (б) выполнены. Мы приходим, таким образом, к асимптотическому разложению для

Это - так называемый ряд Стирлинга, он явно расходится, ибо абсолютная величина его общего члена [449], равная стремится к

Из асимптотического разложения как указывалось в 464, 3°, можно получить разложение и для самого факториала. Именно, подставляя вместо коэффициентов их численные значения, получим:

Если оборвать ряд (26), удовольствовавшись выписанными членами, но прибавив дополнительный член, то получим формулу Стирлинга:

которая, как увидим, уже вполне пригодна для приближенных вычислений.

Положив получим простой и важный частный случай формулы Стирлинга:

потенцируя, ее обычно пишут в виде:

Эта формула в п° 406 уже была выведена другим путем; там же мы нашли, что так что неизвестная нам до сих пор постоянная С оказывается равной

Вычислим для примера с десятью знаками после запятой - по формуле (27), взяв Сложив всего пять чисел

получим для значение 363,73937 55556, точное до (с учетом дополнительного члена и поправок на округление). Точность приближения можно еще весьма значительно увеличить, взяв больше членов и выписав в каждом из них больше верных знаков. Эта точность будет возрастать - для данного случая - примерно, до 300-го члена (покуда члены по абсолютной величине продолжают убывать).

Замечание. Читатель на ряде примеров видел, что отрезки заведомо расходящихся рядов иной раз позволяют находить значения нужных величин и даже с большой точностью. Подобные ряды и в старину, и в наше время некоторые авторы называли «полусходящимися». Мы, однако, предпочли отказаться от применения этого термина, поскольку затрудняемся дать ему достаточно общее и в то же время точное определение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление