Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

470. Определение интегралов с бесконечными пределами.

В главе IX было изучено понятие определенного интеграла для случая конечного промежутка и ограниченной функции Настоящая глава посвящена обобщению этого понятия в различных направлениях. Начнем с рассмотрения интеграла, распространенного на бесконечный промежуток.

Пусть функция определена в промежутке т. е. для и интегрируема в любой конечной его части , так что интеграл имеет смысл при любом .

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при называют интегралом функции от а до и обозначают символом

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл (1) сходится, а функцию называют интегрируемой в бесконечном промежутке Если же предел (1) бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от изученного ранее интеграла в собственном смысле или собственного интеграла, только что определенный интеграл (1) называется несобственным.

Рассмотрим примеры. 1) Функция интегрируема в любом конечном промежутке причем имеем

Так как для этого интеграла при существует конечный предел то интеграл от 0 до сходится и имеет значение

2) Изучим вопрос, при каких значениях показателя существует несобственный интеграл

Пусть , тогда

Это выражение при А — имеет пределом или конечное число в зависимости от того, будет ли или Если имеем

и при в пределе получается

Таким образом, интеграл (2) при сходится (и имеет значение ) , а при расходится.

Аналогично (1), определяется и интеграл функции от до а:

равно как и интеграл функции от до

При этом сохраняется и терминология, введенная по поводу интеграла (1).

В последнем случае, взяв любое а, можно положить

и существование предела при для интеграла слева, очевидно, равносильно существованию порознь пределов (1) и (3) для интегралов справа Таким образом, интеграл от до можно определить и равенством

в предположении существования порознь интегралов справа. Определение это не зависит на деле от выбора точки а.

Примеры:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление