Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

283. Примеры.

Нам уже известны два основных интеграла [269, 9) и 12); 268]:

относящихся к рассматриваемому типу. Отправляясь от них, можно вычислить и другие интегралы.

. При вычислении этого интеграла будем различать два случая:

Если а то интеграл легко преобразуется к первому из основных при

Можно еще умножить аргумент логарифма на а, что введет дополнительное слагаемое и, следовательно, отразится лишь на С. Окончательно получим

Если же , так что радикал перепишем в виде Для того чтобы радикал вообще мог иметь вещественные значения, необходимо предположить здесь Интеграл преобразуется ко второму из основных интегралов

К интегралам (6) и (7) с помощью элементарных приемов приводятся многие другие. Например,

берется интегрированием по частям

Справа у нас снова получился искомый интеграл; перенося его налево и разделив все равенство на 2, найдем

Для получения окончательного результата остается лишь вместо последнего интеграла подставить его выражение (6) или (7), смотря по тому, будет ли или

сводятся к уже известным интегралам простой подстановкой . Имеем (для определенности, пусть

- дальнейшее вычисление производится по формуле (6) или (7), смотря по знаку Далее,

и аналогично

4) Тождественные преобразования подинтегрального выражения приводят к уже вычисленным следующие, например, интегралы:

Имеем

или, воспользовавшись формулой (8),

Затем

первый из интегралов берется сразу, второй вычислен в 3). Наконец,

5) Если под радикалом стоит полный квадратный трехчлен часто выгодно линейной подстановкой свести его к двучлену. Выделяя полный квадрат

полагают Таким путем, например, из формул (6) и (7) получается при

а при

6) Обратимся теперь к эйлеровым подстановкам. мы фактически применили I подстановку к вычислению интеграла

Хотя второй основной интеграл

нам известен из элементарных соображений, но - для упражнения - мы все же к нему применим эйлеровы подстановки.

(а) Если воспользоваться сначала III подстановкой то

и

Так как имеет место тождество

то этот результат лишь формой разнится от уже известного нам.

Читателю и впредь следует считаться с возможностью для интеграла получаться в разных формах, в зависимости от примененного для его вычисления метода.

(б) Если к тому же интегралу применить II подстановку то аналогично получим

Здесь мы сталкиваемся с другим любопытным обстоятельством этот результат годится отдельно для промежутка и для промежутка (0, а), ибо в точке выражение

лишено смысла. Пределы этого выражения при и при различны: они равны, соответственно, ; выбирая для упомянутых промежутков различные же значения постоянной С так, чтобы второе из них было на больше первого, можно составить функцию, непрерывную во всем промежутке , если принять за ее значение при общий предел слева и справа.

И на этот раз мы получили прежний результат лишь в другой форме, ибо имеют место тождества

(кликните для просмотра скана)

(а) Так как корни подкоренного выражения вещественны, то можно применить III подстановку здесь . Имеем

и

куда еще нужно подставить для получения окончательного результата

Воспользовавшись формулой для суммы арктангенсов, а также очевидным соотношением

можно придать результату более простую форму

(б) Если к тому же интегралу применить II подстановку то получим, что

при Этот результат годится в отдельности для промежутка и для промежутка (0, а); легко сообразить, что изменяя значение постоянной С при переходе х через 0, можно сделать его пригодным во всем промежутке . Наконец, если преобразовать его по формуле для суммы арктангенсов, то он отождествится с предыдущим результатом.

I подстановка: Имеем

Таким образом, вопрос сводится к вычислению элементарного интеграла; в результате надлежит подставить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление