Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

474. Сходимость интеграла в случае положительной функции.

Если функция положительна (неотрицательна), то интеграл

представляет собой монотонно возрастающую функцию от переменной А. Вопрос о существовании для нее конечного предела при решается очень просто - на основании теоремы о пределе монотонной функции [п° 57]:

Для сходимости несобственного интеграла (1) - в случае положительной функции - необходимо и достаточно, чтобы интеграл (4) при возрастании А оставался ограниченным сверху.

Если же это условие не выполнено, то интеграл (1) имеет значение [ср. п° 365].

На этом основана следующая «теорема сравнения» для интегралов от положительных функций:

Теорема 1. Если хотя бы при имеет место неравенство то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла или, что то же, из расходимости следует расходимость

Доказательство можно скопировать с доказательства теоремы 1 п° 366.

Часто полезна следующая теорема, являющаяся следствием первой: Теорема 2. Если существует предел

то из сходимости интеграла при вытекает сходимость интеграла , а из расходимости первого интеграла, при вытекает расходимость второго. [Таким образом, при оба интеграла сходятся или оба расходятся одновременно.]

Доказательство такое же, как и для аналогичной теоремы 2 п° 366 [см. 473, 3°].

Выбирая конкретную функцию для сравнения, можно отсюда получить частные признаки сходимости или расходимости интеграла

. Практическое значение имеет сравнение с функцией которая интегрируема от до при и не интегрируема при [п° 470, 2)]. На этом построены следующие признаки Коши: Пусть для достаточно больших х функция имеет вид

Тогда. 1) если то интеграл сходится,

2) если же то этот интеграл расходится. Для доказательства надо воспользоваться теоремой 1; функцией сравнения является [п° 473, 3°]. Если при функция является бесконечно малой порядка сравнению с то интеграл сходится или расходится в зависимости от того, будет ли или . Здесь следует сослаться на теорему 2; роль функции играет

Примеры:

Подинтегральные выражения при х - представляют собою бесконечно малые, соответственно, порядка . Следовательно, первый интеграл расходится, а второй - сходится.

где есть целый многочлен степени - целый многочлен степени не имеющий корней в промежутке

Для достаточно больших х подинтегральное выражение сохраняет определенный знак. Поэтому (изменяя в случае надобности знак) можно применить изложенные выше признаки. Подинтегральная функция является (при бесконечно малой порядка . Поэтому при интеграл расходится, а при сходится. (При он, очевидно, расходится.)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление