Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

475. Сходимость интеграла в общем случае.

Вопрос о существовании несобственного интеграла согласно определению (1),

приводится к вопросу о существовании конечного предела при для функции от А:

Применяя к этой функции признак Больцано-Коши [58], можно условие существования несобственного интеграла представить в следующей форме:

Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы каждому числу отвечало такое число чтобы при выполнялось неравенство

Этот критерий позволяет с легкостью установить такое предложение:

Если сходится интеграл , то и подавно сходится — в .

В самом деле, применяя изложенный критерий к интегралу который предполагаем сходящимся, видим, что для любого найдется такое что

лишь только . Но, очевидно, и, следовательно, для тех же А, А тем более выполняется неравенство

откуда, в силу нашего критерия, вытекает сходимость интеграла

Отметим, что из сходимости последнего интеграла, вообще говоря, не следует сходимость интеграла Это обстоятельство дает основание особо отличать следующий случай. Если наряду с интегралом сходится и интеграл то интеграл называют абсолютно сходящимся, а функцию - абсолютно интегрируемой в промежутке Пример интеграла, сходящегося неабсолютно, будет дан в следующем п°.

По отношению к знакопеременной функции признаки п° 474 непосредственно неприложимы. Но можно попытаться с их помощью установить сходимость интеграла от положительной функции если эта функция оказывается интегрируемой, то функция также будет интегрируема и притом абсолютно.

Отсюда вытекает и следующее предложение, которое часто бывает полезно:

Если функция абсолютно интегрируема в промежутке а функция ограничена, то и произведение их будет функцией, абсолютно интегрируемой в промежутке

Для доказательства достаточно сослаться на неравенство

Пусть, например, дан интеграл Здесь функция оказывается (абсолютно) интегрируемой, в то время как очевидно, ограничена. Отсюда - абсолютная сходимость предложенного интеграла.

Как видно, для знакопеременной функции изложенные здесь соображения - в благоприятном случае - могут установить лишь абсолютную сходимость. Если же интеграл от данной функции расходится или сходится, но не абсолютно, то различить эти случаи с помощью установленных здесь признаков нельзя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление