Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

476. Признаки Абеля и Дирихле.

Мы дадим сейчас признаки другого типа, основанные на применении второй теоремы о среднем значении [306]. Они аналогичны признакам Абеля и Дирихле

сходимости бесконечных рядов [384], ввиду чего удобно и их связать с теми же именами. Эти признаки позволяют устанавливать сходимость несобственных интегралов в ряде случаев, когда абсолютная сходимость отсутствует.

Признак Абеля. Пусть функции определены в промежутке причем

1) функция интегрируема в этом промежутке, так что интеграл (1) сходится (хотя бы и неабсолютно),

2) функция монотонна и ограничена:

Тогда интеграл

сходится.

Доказательство. По второй теореме о среднем значении, при любых будем иметь

где Ввиду предположения (1), для произвольно заданного найдется такое что при будет

В связи с 2), это дает нам, при

что и влечет за собой [475] сходимость интеграла (5).

Можно и в случае интегралов дать другую комбинацию условий, налагаемых на функции при которых сходится интеграл от их произведения:

Признак Дирихле. Пусть

1) функция интегрируема в любом конечном промежутке и интеграл (4) оказывается ограниченным.

2) функция монотонно стремится к 0 при

Тогда интеграл (5) сходится.

[Как читатель видит, прежнее условие (1) несколько ослаблено, ибо мы здесь не требуем сходимости интеграла (1); зато условие (2) заменено более сильным!]

Доказательство проводится как и выше, исходя из равенства (6), но в этом случае первые множители могут быть сделаны сколь угодно малыми, если взять достаточно большими, а вторые множители ограничены числом

Замечание. И здесь признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Действительно, для ограниченной монотонной функции необходимо существует конечный предел

Представив в форме

видим, что для второго произведения уже выполняются условия Дирихле [см. 473, 3° и 4°].

Легко видеть, например, что при сходятся интегралы

Пользуясь признаком Дирихле, мы полагаем или

Условия 1) и 2) выполнены, так как

и функция монотонно убывая, стремится к 0 при

В частности, отсюда при вытекает сходимость интеграла

(мы могли взять здесь потому что подинтегральная функция при имеет конечный предел). Можно показать, что этот интеграл сходится неабсолютно, т. е. что интеграл

расходится. В самом деле, если бы этот интеграл сходился, то по теореме 1 п° 474 сходился бы и интеграл

ибо Иными словами, сходился бы интеграл

прибавив к нему заведомо сходящийся интеграл

мы пришли бы к заключению, что сходится интеграл

чего на деле нет [470, 2)].

Замечание. Теперь, когда мы установили сходимость интегралов

мы можем, наконец, уточнить определение неэлементарных функций («интегральный синус») и («интегральный косинус»), о которых мы упоминали в п° 289. Именно, полагают

Если, например, вторую из этих формул написать в виде:

то - по известному свойству определенного интеграла [n° 305, 12°] - ясно, что производная от действительно равна

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление