477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду.

Мы знаем, что понятие предела функции может быть выражено двояко языке и «на языке последовательностей» [52, 53]. Если к функции [см. (4)] применить второе определение предела, то

определение (1) несобственного интеграла может быть истолковано так: какую бы ни взять последовательность возрастающих до бесконечности чисел последовательность интегралов должна стремиться к одному и тому же конечному пределу который и дает значение несобственного интеграла

С другой стороны, вопрос о пределе последовательности тождествен вопросу о сумме ряда [362]:

Таким образом, можно утверждать: для существования несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы - какова бы ни была варианта - ряд

сходился к одной и той же сумме, которая и дает значение несобственного интеграла.

Отметим, что в случае положительной (неотрицательной) функции - для существования интеграла достаточно сходимости указанного ряда при одном частном выборе варианты Действительно, тогда возрастающая функция (4) от А будет ограничена суммой этого ряда и, следовательно, имеет конечный предел при

Сведение вопроса о сходимости интеграла к вопросу о сходимости ряда представляется часто очень выгодным, так как дает возможность использовать многочисленные признаки сходимости или расходимости рядов.

Для примера рассмотрим снова интеграл , о котором уже была речь в предыдущем п°.

Так как при возрастании х принимает попеременно то положительные, то отрицательные значения, меняя знак в точках пп то естественно именно эти числа взять в качестве и рассмотреть ряд

Произведя в общем члене подстановку получим

Отсюда видно, что члены ряда имеют чередующиеся знаки и по абсолютной величине монотонно убывают. Далее, при

и, следовательно, абсолютная величина членов ряда стремится к нулю с увеличением их номера. Ряд (7) будет типа Лейбница и, по известной теореме [381], сходится. Обозначим его сумму через I. Таким образом, для любого найдется такое что при имеет место неравенство

Теперь уже завершить доказательство существования интеграла проще языке . Пусть тогда существует такое натуральное число что причем, очевидно, Так как в промежутке от до функция сохраняет знак, то интеграл будет содержаться между интегралами и каждый из которых лежит, в силу (8), между . Следовательно, то же можно утверждать и об интеграле Итак, окончательно, для имеем

так что существует

Мы уже знаем [476], что этот интеграл сходится неабсолютно, т. е. что интеграл расходится. Этот факт также легко установить, обращаясь к представлению интеграла в виде ряда. Действительно, если бы интеграл сходился, то имели бы, как и только что,

Но

между тем как ряд расходится! [365, 1)].