Для примера рассмотрим снова интеграл
, о котором уже была речь в предыдущем п°.
Так как
при возрастании х принимает попеременно то положительные, то отрицательные значения, меняя знак в точках пп
то естественно именно эти числа взять в качестве
и рассмотреть ряд
Произведя в общем члене
подстановку
получим
Отсюда видно, что члены ряда имеют чередующиеся знаки и по абсолютной величине монотонно убывают. Далее, при
и, следовательно, абсолютная величина членов ряда стремится к нулю с увеличением их номера. Ряд (7) будет типа Лейбница и, по известной теореме [381], сходится. Обозначим его сумму через I. Таким образом, для любого
найдется такое
что при
имеет место неравенство
Теперь уже завершить доказательство существования интеграла проще
языке
. Пусть
тогда существует такое натуральное число
что
причем, очевидно,
Так как в промежутке от
до
функция
сохраняет знак, то интеграл
будет содержаться между интегралами
и
каждый из которых лежит, в силу (8), между
. Следовательно, то же можно утверждать и об интеграле
Итак, окончательно, для
имеем
так что существует
Мы уже знаем [476], что этот интеграл сходится неабсолютно, т. е. что интеграл
расходится. Этот факт также легко установить, обращаясь к представлению интеграла в виде ряда. Действительно, если бы интеграл сходился, то имели бы, как и только что,
Но
между тем как ряд
расходится! [365, 1)].