Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

478. Примеры.

1) Исследовать сходимость интегралов:

Решение, (а) Подинтегральная функция при является бесконечно малой первого порядка; интеграл расходится.

(б) Бесконечно малая порядка 3/2: интеграл сходится.

(в) При подинтегральная функция стремится к 0. Разлагая в ряд, видим, что выражение

при является бесконечно малой 2-го порядка: интеграл сходится.

(г) Разлагая в ряд, легко получить

так что при подинтегральное выражение стремится . При оно будет бесконечно малой порядка. Интеграл сходится.

2) То же для интегралов:

Решение, (а) Взяв любое имеем:

интеграл сходится.

(б) Заметим сначала, что при подинтегральная функция стремится к 0. Взяв теперь снова любое получим:

интеграл сходится.

(в) При подинтегральная функция имеет пределом 0. Пусть тогда отношение этой функции к — можно написать в виде:

интеграл сходится.

3) То же для интегралов:

Указание. В обоих случаях имеем произведение ограниченной функции на (абсолютно) интегрируемую.

4) Исследовать сходимость интеграла

Постараемся оценить порядок убывания при «внутреннего» интеграла. Полагая в нем имеем:

Ввиду сходимости интеграла найдется постоянная такая, что при

Следовательно, интеграл по абсолютной величине не превосходит выражения Отсюда вытекает абсолютная сходимость предложенного интеграла.

5) Установить сходимость интегралов

Решение. Во всех случаях пользуемся признаком Дирихле,

для достаточно больших х монотонно убывает и при стремится к нулю; интеграл очевидно, ограничен.

(б) , монотонно убывая, стремится к нулю при так что (если положить

для достаточно больших значений

так что убывает, очевидно, стремясь к нулю, и т. д. так что (полагая

Это выражение по абсолютной величине остается ограниченным, ввиду того, что интеграл сходится (в чем можно удостовериться с помощью того же признака Дирихле).

6) Доказать следующее утверждение:

Пусть функция определена в промежутке и имеет период , а функция монотонна в том же промежутке и стремится к 0 при Если интеграл (собственный)

то интеграл (несобственный)

сходится. Если же, наоборот,

то интеграл (5) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

(а) Предположим сначала выполнение условия (9) и покажем, что интеграл

в этом случае остается ограниченным при всех

Ввиду 314, 10) и замечания в 316, очевидно, и

и тогда, каково бы ни было если взять будем иметь

И требуемое заключение следует непосредственно из признака Дирихле,

(б) В предположении (9, заменим на . Так как эта функция удовлетворяет условию типа (9), то интеграл

по доказанному сходится. Отсюда уже ясно, что интегралы (5) и (10) сходятся (или расходятся) одновременно.

7) Если, например, положить в промежутке то видим, что интеграл

следовательно, интеграл

(при прежних предположениях относительно сходится или расходится одновременно с интегралом (10).

Напротив, интеграл

сходится во всяком случае, независимо от поведения интеграла

8) Исследовать сходимость интегралов

(а) Имеем

ибо второй из двух последних интегралов разнится от первого из них лишь знаком (подстановка ). В силу 6), интеграл (а) сходится.

так что [см. 6)] - ввиду расходимости интеграла

- интеграл расходится.

9) Исследовать интеграл

на сходимость, в зависимости от значений параметра

Имеем тождество

Интеграл от первого члена справа

как мы знаем [476], всегда сходится. Обратимся к интегралу от второго члена справа

Так как

то при интеграл от выражения справа, а с ним и интеграл (11) сходится; при рассмотрим выражение слева: интеграл от него, в силу 7), ведет себя так же, как и интеграл

т. е. расходится, а с ним расходится и интеграл (11).

Окончательно, предложенный интеграл сходится при у и расходится при

Пример этот, в случае поучительно сопоставить с признаком сходимости Дирихле. Интеграл от первого множителя, ограничен, в то время как второй множитель

стремится к 0 при Нарушено лишь требование монотонности этого множителя, и предложенный интеграл оказывается расходящимся!

10) Исследовать интеграл

на сходимость, в зависимости от значений параметров

Обозначив подинтегральную функцию через будем иметь при изменении х между

Интегрируя эти неравенства, учтем, что

мы получим

Теперь суммируем по от 0 до

Так как оба крайних ряда сходятся или расходятся одновременно с рядом

то это же справедливо и для интеграла.

Итак, предположенный интеграл сходится при и расходится при

11) То же - для интеграла

Метод рассуждения тот же, что и в предыдущем примере. Вместо интеграла (12) здесь придется рассматривать интеграл [см. 288, 14)]:

Так как при

то сравнивать предложенный интеграл достаточно с рядами

т. е., в конечном счете, с рядом:

Ответ. При интеграл сходится, а при расходится.

Примеры 6), 7), 9), 10), 11) принадлежат Харди (G. Н. Hardy).

12) Произвести полное исследование случаев сходимости и расходимости интеграла:

в зависимости от значений параметров а и

(а) Пусть Так как

то в этом случае интеграл расходится [474].

(б) Пусть Переходя к ряду [477], имеем в этом предположении:

Но

так что члены последнего ряда оказываются большими соответствующих членов расходящегося ряда

Итак, интеграл снова расходится.

(в) Пусть Представим в виде суммы где

Затем, для

откуда

Таким образом,

Аналогично и так что интеграл сходится.

(г) К случаю приводится и общий случай, когда одновременно . Действительно, в этом случае легко найти такое чтобы было . Так как при уменьшении сходимость лишь усиливается, то и в упомянутом общем случае налицо сходимость.

Резюмируя все исследование, видим, что интеграл сходится при одновременном выполнении условий а и расходится во всех прочих случаях. Можно сказать и короче: если интеграл сходится, а при - расходится.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление