Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

480. Замечание относительно особых точек.

Рассмотрим функцию определенную в конечном промежутке и предположим, что она в этом промежутке в собственном смысле не интегрируема. Тогда в промежутке необходимо найдется такая точка с, в каждой окрестности которой функция оказывается не интегрируемой (в собственном смысле).

Действительно, если бы подобных точек не было вовсе, то каждую точку х промежутка можно было бы окружить такой окрестностью , чтобы в ее пределах функция была интегрируема. Применив к системе покрывающей промежуток лемму Бореля [88], легко в таком случае разложить промежуток на конечное число частей, в которых порознь функция интегрируема. Но отсюда вытекала бы ее интегрируемость во всем промежутке вопреки предположению.

Упомянутую точку с и естественно назвать особой: в ней как бы «сгущается» свойство функции не быть интегрируемой. Особых точек может быть несколько, даже - бесконечное множество; в случае функции Дирихле [300, 2)], например, особые точки заполняют сплошь весь промежуток [0, 1].

Ограничимся случаем конечного числа особых точек ст. В этом случае природа «особенности», осуществляющейся в названных точках, легко вскрывается: в окрестности каждой из них функция попросту неограничена (так что именно неограниченность и является причиной неинтегрируемости в собственном смысле). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай, когда единственной особой точкой будет

Итак, пусть при любом функция интегрируема (следовательно, необходимо - и ограничена) в промежутке но не интегрируема в промежутке - Нужно доказать, что при этих условиях вблизи точки функция не может оставаться ограниченной. Допустим противное: пусть для всех имеем:

Задавшись произвольным числом возьмем Для промежутка в котором функция интегрируема, по числу — можно найти такое чтобы при разделении этого промежутка на части с длинами было

где означают, как всегда, соответствующие колебания функции [297]. Можно предположить сверх того, что Разобьем теперь весь промежуток на части с длинами и пусть будут отвечать тем частям, которые не выходят за пределы - остальным частям; из них только одна может выходить за пределы - если точка сама не входит в состав точек деления. Тогда по-прежнему

с другой же стороны:

и окончательно

А этим обусловливается [297] интегрируемость функции во всем промежутке и точка оказывается не особой, вопреки предположенному о ней. Этим и завершается доказательство.

Таким образом, в случае конечного числа особых точек, их можно характеризовать именно тем, что вблизи них функция перестает быть ограниченной; это мы и возвели в определение особых точек в предыдущем п°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление