Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры.

Пусть функция определена в промежутке и интегрируема (в собственном смысле) в каждом промежутке в то время как служит для нее особой точкой. Если для в промежутке т. е. для существует первообразная функция то

и существование несобственного интеграла (1) равносильно существованию конечного предела Если последний существует, то его естественно принять за значение первообразной функции при достигнув этим непрерывности во всем промежутке Для вычисления интеграла (1) мы имеем тогда формулу обычного вида:

Та же формула имеет место и в том случае, если особая точка лежит внутри промежутка или при наличии нескольких особых точек, но (это нужно твердо помнить) при непременном условии, чтобы первообразная функция имеющая своей производной всюду, исключая особые точки, была непрерывна и в этих последних. Существование такой первообразной обеспечивает существование несобственного интеграла.

Замечание. Говоря о «первообразной» функции мы могли бы понимать ее в еще несколько более широком смысле: должна иметь своей производной повсюду, исключая не только особые точки, но и, быть может, еще некоторые точки в конечном числе, лишь бы и в них не нарушалась непрерывность функции [ср. 310].

Заменив в основной формуле на на мы, как и в 310, можем написать ее в виде

Таким образом, по заданной производной восстанавливается первообразная функция если только производная интегрируема, хотя бы в несобственном смысле.

Обратимся к примерам.

1) особая точка так как первообразная функция — непрерывна и в этой точке, то интеграл существует:

2) - не существует, так как первообразная обращается в особых точках

особая точка здесь первообразная — непрерывна при следовательно, интеграл существует .

особая точка здесь первообразная при имеет пределом 0. Приписывая ей при именно это значение, будем иметь

особая точка имеем:

, особая точка интеграл не существует, так как первообразная обращается в при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление