Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

284. Другие приемы вычисления.

Хотя подстановки Эйлера принципиально во всех случаях решают вопрос о вычислении интеграла типа (4) в конечном виде, но иной раз - при их применении - даже простые дифференциалы приводят к сложным выкладкам. Ввиду важности интегралов рассматриваемого типа мы укажем и другие приемы для их вычисления.

Для краткости положим

Рациональная функция может быть представлена в виде частного двух целых многочленов относительно х и у. Заменяя всюду на мы приведем к виду

где - целые многочлены. Умножая числитель и знаменатель этой дроби на выражение (и снова заменяя на придем к новой форме для

Интеграл от первого слагаемого справа мы уже умеем выражать в конечном виде: следовательно, нам надлежит заняться лишь вторым слагаемым. Умножая и деля его на у, окончательно получим такое выражение

интегрированием которого мы и займемся.

Прежде всего выделим из рациональной функции целую часть а правильно - дробную часть представим себе разложенной на простые дроби [274]. В таком случае интегрирование полученного выражения сведется к вычислению интегралов следующих трех типов;

где все коэффициенты вещественны, а корни трехчлена - мнимые. Остановимся на каждом из них в отдельности.

I. Положим

Легко установить рекуррентную формулу для этих интегралов. С этой целью, считая возьмем производную

и проинтегрируем полученное тождество

Беря здесь найдем

полагая затем (и используя выражение для ), получим

Поступая так дальше, придем к общей формуле

где есть многочлен степени, Таким образом, все интегралы приводятся к .

Если в интеграле I многочлен будет степени, то этот интеграл представит собой линейную комбинацию интегралов а значит, по предыдущей формуле, напишется в виде

где - некоторый многочлен степени, а

Самое определение многочлена и постоянной А обычно производится по методу неопределенных коэффициентов. Дифференцируя (9) и умножая полученное равенство на получим

Если вместо подставить сюда многочлен степени с буквенными коэффициентами, то в обеих частях мы будем иметь многочлены степени. Приравнивая их коэффициенты, придем к системе линейных уравнений, из которых и определяется коэффициентов многочлена и постоянная

Замечание. Формула (9) осуществляет выделение алгебраической части из интеграла

Подобное же выделение могло бы быть произведено и по отношению к интегралу общего вида

где - знак произвольной рациональной функции. На этом мы не останавливаемся.

II. Интеграл

приводится подстановкой к только что рассмотренному типу. Действительно, имеем

так что (считая для определенности и

Если т. е. а оказывается корнем трехчлена то дело еще упрощается: мы получаем интеграл типа, рассмотренного в 278.

III. (а) Обращаясь к последнему интегралу, рассмотрим особо случай, когда трехчлен с лишь множителем а отличается от трехчлена Тогда искомый интеграл имеет вид

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, весь вопрос сводится к вычислению интеграла от многочлена.

В частности, например, при имеем

(б) В общем случае для большей симметрии обозначений положим

причем теперь мы можем предположить, что трехчлен в скобках не тождествен с трехчленом . Поставим себе задачей преобразовать переменную х так, чтобы в обоих трехчленах одновременно исчезли члены первой степени.

Пусть сначала . Тогда нашей цели можно достигнуть с помощью дробно-линейной подстановки

надлежаще подобрав коэффициенты Имеем

и аналогично - для второго трехчлена. Искомые коэффициенты определяются из условий

или

Таким образом, и суть корни квадратного уравнения

Для того чтобы эти корни были вещественны и различны (необходимо и), достаточно условие

удостоверимся в его выполнении.

Перепишем условие в равносильной форме

Дано, что (ибо трехчлен имеет мнимые корни), поэтому неравенство (14 заведомо выполняется, если одновременно

. Остается исследовать случай, когда и Тогда и мы имеем последовательно

Здесь дважды знак неравенства соединяется со знаком равенства, но равенство не может иметь место в обоих случаях одновременно: если то равенства, наверное, нет в первом случае, а при наверное, нет во втором. Таким образом, неравенство (14, а с ним и доказано.

Выполнив подстановку, мы преобразуем искомый интеграл к виду

где есть многочлен степени Снова прибегнув (при к разложению правильной дроби

на простые, мы придем к сумме интегралов вида

В исключенном случае, когда уничтожение членов первой степени достигается еще проще - подстановкой и мы непосредственно приходим к интегралу только что указанного вида.

Полученный интеграл, естественно, разлагается на два:

Первый из них легко берется подстановкой . Ко второму же приложима уже знакомая нам подстановка Абеля

Именно, в силу (11), имеем

кроме того, как легко вычислить,

Поэтому

и искомый интеграл привелся к интегралу от рациональной функции. Замечание. Помимо того что мы в настоящем п° указали ряд новых приемов для вычисления интегралов типа (4), совокупность приведенных соображений дает независимое от прежнего доказательство утверждения, сформулированного в конце п° 281.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление