Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

484. Главные значения несобственных интегралов.

Допустим, что в промежутке задана функция которая имеет одну лишь особую точку с внутри

промежутка и интегрируема (в собственном смысле) в каждой части его, не содержащей с. Несобственный интеграл от а до определяется равенством

причем предел должен существовать при независимом предельном переходе по и по . В некоторых случаях, когда этот предел не существует, оказывается полезным рассмотреть предел того же выражения, если стремятся к нулю, оставаясь равными: Если этот предел существует, его называют (по примеру Коши) главным значением несобственного интеграла и обозначают символом

[V. p. — начальные буквы от слов «Valeur principale», означающих по-французски «главное значение»]. В этом случае говорят, что интеграл существует в смысле главного значения. Если интеграл существует как несобственный, то он, очевидно, существует и в смысле главного значения; обратное же, вообще говоря, неверно. Рассмотрим примеры.

1) Интеграл как несобственный не существует, ибо выражение

не имеет определенного предела, если стремятся к 0 независимо друг друга. В то же время, если связать требованием , то получим выражение

на деле не зависящее от так что главное значение интеграла существует.

2) Интеграл при и четном имеет бесконечное значение, а при нечетном вовсе не существует, как несобственный.

Рассмотрим выражение

При нечетном оно сводится к постоянному числу; таково же будет в этом случае и главное значение:

3) Рассмотрим, далее, расходящийся интеграл

Особой точкой будет , и при подинтегральная функция обращается в бесконечность порядка. Имеем:

Поэтому

При выражение под знаком логарифма в первом слагаемом стремится к 1 (в чем нетрудно убедиться, раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя). Окончательно,

В некоторых случаях можно наперед установить существование главного значения интеграла. Остановимся на одном таком случае. Пусть дан интеграл

где функция непрерывна в промежутке и обращается в 0 в одной лишь точке с внутри промежутка. Предположим, что в окрестности точки с существует первая производная не обращающаяся в 0 при а в этой точке существует и вторая производная

Так как - при является бесконечно большой порядка, и притом меняя знак при прохождении х через с, то предложенный интеграл не существует. Покажем, что он существует в смысле главного значения.

Положим

эта функция для непрерывна. Вблизи имеем, по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме о [124]:

где при Тогда, очевидно,

так что вблизи остается ограниченной и, следовательно, интегрируема даже в собственном смысле. Так как для функции интеграл существует в смысле главного значения [см. 1)], то это справедливо и относительно предложенного интеграла.

С помощью этого признака, например, легко установить существование главного значения в примере 3). Другим примером может служить определение одной важной неэлементарной функции, так называемого «интегрального логарифма»:

Этот интеграл сходится лишь при при его понимают именно в смысле главного значения.

Нетрудно распространить понятие главного значения и на случай любого конечного числа особых точек внутри рассматриваемого промежутка.

До сих пор мы исключали возможность особенностей на концах промежутка; можно этого не делать, если только при построении главных значений этих именно особенностей в расчет не принимать.

4) Пусть, например, предложен заведомо расходящийся интеграл

Особыми здесь будут точка и (если 1) конец промежутка . Легко показать, что в этом случае

приводится просто к интегралу

(при - несобственному).

В заключение рассмотрим еще одну разновидность «главного значения», которою нередко приходится пользоваться. Именно, остановимся на интеграле, распространенном на бесконечный в обе стороны промежуток причем внутри промежутка мы не предполагаем наличия особых точек. Как известно, такой интеграл может быть определен предельным равенством

где предельный переход по А и по А предполагается независимым один от другого. Может оказаться, однако, что в этом смысле предела нет, но существует предел, отвечающий частному предположению . Его также называют главным значением интеграла и обозначают символом

Например, если функция нечетная, то ее интеграл в симметричном относительно 0 промежутке будет равен 0, так что и

хотя несобственного интеграла может и вовсе не существовать (как, скажем, для функции

Если функция четная, то

предел для этого интеграла существует в том и только в том случае, когда существует предел для интеграла т. е. существует несобственный интеграл а с ним и интеграл Таким образом, для четной функции главное значение интеграла существует лишь одновременно с несобственным интегралом (и, естественно, равно ему).

Любую функцию (интегрируемую в каждом конечном промежутке) можно представить в виде суммы двух функций, четной и нечетной

(сохраняющих то же свойство интегрируемости).

Из сказанного выше теперь ясно, что

если последний несобственный интеграл существует. Например, замечая, что функция состоит из четной части — и нечетной части сразу можно написать

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление