Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

485. Замечание об обобщениях значениях расходящихся интегралов.

В § 9 главы XI мы занимались суммированием расходящихся рядов, приписывая такому ряду - по тому или иному правилу - «обобщенную сумму. Подобно этому, существуют методы, позволяющие в иных случаях и расходящимся интегралам приписывать «обобщенные значения». Собственно говоря, мы делали это и в предыдущем п° именно тем, что вносили некоторые упрощающие частные ограничения в предельные процессы, которые приводят к обычным несобственным интегралам. Здесь же мы имеем в виду уже существенно иные процессы, сходные с теми, какими мы пользовались по отношению к расходящимся рядам. Мы ограничимся двумя примерами таких процессов, которые служат аналогами метода Чезаро и метода Пуассона - Абеля для рядов.

1. Пусть функция определена для и интегрируема в собственном смысле в каждом конечном промежутке но не интегрируема в промежутке Определим функцию

и составим среднее ее значение

Если для него существует конечный предел

то это число и рассматривают как «обобщенное значение» интеграла.

Применим этот процесс, для примера, к известному нам расходящемуся интегралу

[472, 4)]. Здесь и

В качестве «обобщенного значения» расходящегося интеграла (6) получилось, таким образом, число 1.

Естественно, и здесь возникает вопрос о регулярности изложенного метода: приписывает ли этот метод сходящемуся интегралу

имеющему по определению п° 470 конечное значение Див качестве «обобщенного значения» - то же число I. Покажем, что это именно так.

По произвольному числу ввиду сходимости интеграла (7), найдется такое что для будет

Предполагая имеем

так что

Второе слагаемое справа (по самому выбору числа первое же тоже станет при достаточно большом х, и одновременно:

Таким образом, действительно

II. На этот раз по заданной функции для которой интеграл (7) не существует, введем в рассмотрение другой интеграл

Если последний интеграл при к сходится и существует конечный предел

то этот предел и принимается за «обобщенное значение» расходящегося интеграла (7).

Чтобы дать пример, рассмотрим вновь интеграл (6). Так как

[472, 1)] стремится к 1 при , то и здесь в качестве «обобщенного значения» интеграла (6) получается 1.

К вопросу о регулярности второго метода мы вернемся ниже [520].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление