Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов

486. Простейшие свойства.

Мы будем рассматривать функции, интегрируемые (в собственном или несобственном смысле) в конечном или бесконечном промежутке Таким образом, могут означать не только конечные числа, но также Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегралов [302-306] и получаются из них единообразным приемом. Так как несобственные интегралы суть пределы собственных, то обычно достаточно написать для этих последних равенство или неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам.

Здесь, прежде всего, также можно ввести понятие об интеграле по ориентированному промежутку и установить:

1°. Если интегрируема в промежутке , то она интегрируема в промежутке причем

[Можно принять это просто за определение интеграла для случая, когда

Далее:

2°. Пусть интегрируема в наибольшем из промежутков Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

3°. Если интегрируема в то и с также интегрируема, и

4°. Пусть функции - обе интегрируемы в промежутке тогда интегрируема и функция и

При доказательстве этого (и следующего) свойства следует иметь в виду замечание п° 479. Пусть, скажем, будет единственной особой точкой для той или другой из функций Тогда, написав равенство

можно из него получить предшествующую формулу, переходя к пределам при как в том случае, когда все интегралы от а до несобственные, так и в том, когда один из них собственный.

5°. Если для двух интегрируемых в функций выполняется неравенство то при

6°. Если функция в промежутке абсолютно интегрируема, то

7°. Если функция интегрируема в то при любом х из этого промежутка существует интеграл

и представляет собой непрерывную функцию от х.

Пусть докажем, например, непрерывность функции при слева. Взяв с между так, чтобы в промежутке не было особых точек, исключая разве лишь имеем для

и достаточно установить, что

А это равенство имеет место [см. замечание п° 479] как в случае, когда интеграл справа - собственный, так и в случае, когда он несобственный.

Если то непрерывность функции при понимается в том смысле, что

8°. При тех же предположениях, если в точке функция непрерывна, существует производная для функции в этой точке, и

Для доказательства используется разложение (2), с ссьшкой на аналогичное свойство собственного интеграла.

Легко перефразировать свойства 7° и 8° для случая, когда переменным является нижний предел интеграла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление