Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

487. Теоремы о среднем значении.

Первая теорема о среднем значении в первоначальной форме существенно предполагает функцию ограниченной, а промежуток конечным, и потому не может быть перенесена на случай несобственного интеграла. В обобщенной же форме ее перенести можно:

Первая теорема о среднем значении. Пусть функции обе интегрируемы в промежутке причем ограничена.

не меняет знака, тогда и функция интегрируема и

где

Существование интеграла вытекает из заключительной теоремы п° 475 и аналогичной ей теоремы п° 482. Само же равенство доказывается формально так же, как и для собственных интегралов.

Если функция непрерывна в замкнутом промежутке то за можно взять наименьшее и наибольшее значение и множитель оказывается равным одному из значений функции

где с содержится в Это верно и в том случае, если промежуток бесконечен, ибо теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши [85, 82] для этого случая также справедливы, в чем предлагаем читателю убедиться самому.

Имеет место также

Вторая теорема о среднем значении. Пусть функция монотонна и ограничена в промежутке а функция интегрируема в этом промежутке. Тогда и функция также

интегрируема, и

Остановимся для определенности на случае, когда а конечно, и других особых точек для нет. Существование интеграла вытекает из признака Абеля.

Без умаления общности можно считать функцию убывающей. Ввиду ограниченности ее, существует конечный предел

Тогда Для конечного промежутка имеем [306, 13°]:

Непрерывная в промежутке функция от А имеет конечные границы так что [см. (3)]

и, в пределе при

Отсюда

Но непрерывная функция достигает своих границ и принимает любое содержащееся между ними значение, т. е.

Полагая в и подставляя только что найденное выражение для и придем к доказываемой формуле.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление