Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов.

Пусть функции определены и непрерывны вместе со своими первыми производными во всех точках промежутка исключая точку (которая может быть равна и Тогда имеет место равенство

если под двойной подстановкой понимать разность

При этом предполагается, что из трех входящих в равенство выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл два: существование третьего отсюда уже вытекает.

В самом деле, взяв напишем обычную формулу интегрирования по частям для промежутка где все интегралы - собственные:

Пусть теперь в этом равенстве стремится к По условию, два из входящих в него выражений имеют конечные пределы при . Следовательно, имеет конечный предел также третье выражение, и доказываемое равенство оправдывается с помощью предельного перехода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление