Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

489. Примеры.

— интегрированием по частям здесь удалось свести несобственный интеграл к собственному и тем доказать существование несобственного интеграла [ср. 483, 2) (в)]. Ту же особенность имеют и следующие примеры:

(б) Аналогично

Так как и двойная подстановка и интеграл справа имеют смысл, то этим снова доказано существование интеграла слева [ср. 476, 477].

Совершенно аналогично можно установить существование интеграла если функция непрерывна и интеграл от нее ограничен для всех [Это вытекает и из признака Дирихле.]

Путем интегрирования по частям иной раз получаются рекуррентные формулы, с помощью которых затем уже легко осуществляется вычисление предложенных интегралов. Проиллюстрируем это на следующих примерах - натуральные числа):

Имеем:

откуда

Уничтожение двойной подстановки здесь (и в дальнейших примерах) создает преимущество для применения формулы интегрирования по частям именно к определенным интегралам (а не к неопределенным).

Прежде всего, интегрируя по частям, найдем:

Так как двойная подстановка равна нулю, то, снова прибегая к интегрированию по частям, получим далее:

Если заменить здесь на то легко прийти к рекуррентной формуле:

Так как то окончательно для случаев нечетного и четного и найдем соответственно:

6) Легко распространяется на случай несобственных интегралов и обобщенная формула интегрирования по частям [311 (7)].

Пусть, например, предложен интеграл

где означает так называемый многочлен Чебышева - Лагерра (Е. Laguerre)

Пользуясь упомянутой формулой, будем иметь

и, окончательно [(см. 4)]:

Аналогично устанавливаются результаты:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление