Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

490. Замена переменных в несобственных интегралах.

Пусть функция определена и непрерывна в конечном или бесконечном промежутке и, следовательно, интегрируема в собственном смысле в каждой его части, не содержащей точки которая может быть и эта точка, по предположению, является единственной особой точкой для функции

Рассмотрим теперь монотонно возрастающую функцию непрерывную вместе со своей производной в промежутке , где может быть и и допустим, что Последнее равенство надлежит понимать в том смысле, что

При этих условиях имеет место равенство

в предположении, что существует один из этих интегралов (существование другого отсюда уже вытекает). Второй интеграл будет либо собственным, либо несобственным - с единственной особой точкой

По теореме об обратной функции [83] ясно, что и можно рассматривать как монотонно возрастающую и непрерывную функцию от причем

Пусть теперь будут произвольные, но соответствующие одно другому значения х и и из промежутков Тогда с помощью замены переменной в собственном интеграле будем иметь

Если существует, скажем, второй из интегралов (5), то станем приближать произвольным образом к при этом устремится к и мы установим формулу (5), одновременно с доказательством существования интеграла слева.

Наше рассуждение одинаково применимо в случае монотонно убывающей функции когда Так же исчерпываются и другие возможные случаи распределения особых точек. При расстановке пределов в преобразованном интеграле всегда следует помнить, что нижний предел а должен соответствовать нижнему пределу а, а верхний предел - верхнему пределу независимо от того, будет ли или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление