Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов

492. Некоторые замечательные интегралы.

Начнем с вычисления некоторых важных интегралов с помощью искусственных приемов. 1°. Интеграл Эйлера (L. Euler):

В его существовании мы уже убедились. Вычисление интеграла Эйлера основано на использовании замены переменной. Имеем, полагая

Подставляя в последнем интеграле приведем его к виду так что, окончательно, для определения получаем уравнение

К этому же интегралу, с точностью до знака, приводятся и собственные интегралы

2°. Обратимся к вычислению интеграла Эйлера-Пуассона:

встречающегося в теории вероятностей. С этой целью предварительно установим некоторые неравенства.

Обычными в дифференциальном исчислении методами нетрудно установить, что функция достигает своего наибольшего значения 1 при Следовательно, для будет

Полагая здесь мы получим

откуда

Ограничив в первом из этих неравенств изменение х промежутком (так что а во втором считая х любым, возвысим все эти выражения в степень с любым натуральным показателем это дает нам

Интегрируя первое неравенство в промежутке от 0 до 1, а второе - от 0 до , получим

Но

и, наконец,

[мы воспользовались здесь известными выражениями для

312 (8)]. Таким образом, неизвестное нам значение К может быть заключено между следующими двумя выражениями:

так что, возводя в квадрат и преобразуя, получим

Из формулы Валлиса [317]:

легко усмотреть теперь, что оба крайних выражения при стремятся к одному и тому же пределу следовательно,

3°. Рассмотрим, наконец, интеграл

Мы знаем уже, что он сходится [476; 477; 489, 3)]. Представим интеграл в виде суммы ряда

Положив или и прибегнув, соответственно, к подстановке или будем иметь:

и

Отсюда

Так как ряд

в промежутке сходится равномерно, ибо мажорируется сходящимся рядом - его можно интегрировать почленно.

Это дает нам право написать выражение для I в виде:

Но выражение в квадратных скобках есть разложение на простые дроби функции [441, 9)]. Таким образом, окончательно,

Приведенный изящный вывод принадлежит Лобачевскому, который первым обратил внимание на нестрогость тех приемов, с помощью которых этот важный интеграл вычислялся раньше.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление