Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм.

Случай интегралов с конечными пределами. Если функция в промежутке неограничена, то произвольными интегральными (римановыми) суммами пользоваться для вычисления ее интегралов в этом промежутке, разумеется, нельзя. Однако всегда можно так выбирать эти суммы, чтобы они - при дроблении промежутка - стремились к значению несобственного интеграла. Мы установим это для простейшего случая монотонной функции.

Итак, пусть функция в промежутке [0, а] положительна, монотонно убывает и при стремится к в то же время, пусть для нее существует несобственный интеграл от 0 до а. Разделив промежуток [0, а] на равных частей, будем иметь

и тем более

В то же время, очевидно,

так что, по совокупности,

Так как последний интеграл при стремится к нулю, то окончательно

В случае положительной возрастающей функции стремящейся к при получается аналогично

Наконец, изменяя знак легко получить такие же формулы и для монотонной отрицательной функции.

Рассмотрим примеры. 1) Для вычисления интеграла (с особой точкой 0) имеем:

Так как [77, 4)] , то предыдущий предел равен - 1; таково, в действительности, и есть значение предложенного интеграла.

2) В качестве второго примера возьмем более сложный интеграл:

В этом случае

Желая получить простое выражение для последнего произведения, рассмотрим целый многочлен, получающийся от деления на и разложим его на линейные множители, собирая вместе множители, отвечающие

сопряженным корням. Мы получим (при любом вещественном z, отличном

При отсюда найдем:

так что, наконец,

Поэтому искомый интеграл оказывается равным:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление