Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

494. Случай интегралов с бесконечным пределом.

Пусть функция определена и интегрируема в промежутке от 0 до Разлагая этот промежуток на бесконечное множество равных промежутков длины , составим сумму напоминающую по своему строению риманову сумму. Сходится ли этот ряд, будет ли его сумма при стремиться к несобственному интегралу - вот вопросы, которыми мы займемся при некоторых частных предположениях относительно

Предположим сначала, что положительна и, монотонно убывая, стремится к 0 при Тогда

а с другой стороны, очевидно,

так что

и

Примеры. 1) Положим Тогда

2) Зная значение интеграла

из других соображений, мы все же можем применить выведенную формулу и получим, таким образом, что

Если положить то при Отсюда - интересное предельное соотношение:

Может случиться, что требование монотонного убывания функции выполняется лишь для Это обстоятельство не мешает применению указанного для монотонных функций приема; нужно лишь озаботиться тем, чтобы отношение было целым. Тогда

по самому определению собственного интеграла, а

- по доказанному выше,

Пример. 3) Пусть эта функция монотонно убывает, начиная с Тем не менее

что легко проверить интегрированием по частям.

Перейдем к более общему случаю, не требуя от пока ничего, кроме интегрируемости. Имеем

При достаточно большом А последний интеграл по абсолютной величине будет произвольно мал Каково бы ни было А, станем и здесь брать таким, чтобы был целым. Тогда, при как и только что, будет выполняться (2).

Теперь ясно, что для справедливости равенства (1) достаточно, чтобы еще выполнялось условие:

Действительно, тогда все слагаемые правой части равенства

при достаточно большом А и достаточно малом будут произвольно малы.

Условие (3) автоматически выполняется при ранее сделанных относительно предположениях, ибо

Оно также выполняется, если где (хотя бы для удовлетворяет тем условиям, которые выше были наложены на ограничена: . В этом случае

4) В качестве примера рассмотрим интеграл здесь Имеем

Для вычисления последней суммы сообразим сначала, что

[461, 6) (б)]. Почленное дифференцирование для допустимо по теореме 7 п° 435, ввиду равномерной сходимости ряда, составленного из производных [по признаку Дирихле, 430]. Интегрируя, найдем выражение для интересующей нас суммы: . Отсюда наконец,

В других случаях выполнение условия (3) приходится проверять непосредственно.

5) Пусть, например, предложен интеграл Ограничимся (на что мы, очевидно, имеем право) значениями где к, - натуральные числа.

Представим интересующую нас сумму в виде:

Нетрудно убедиться в том, что слагаемые в пределах каждой конечной суммы справа будут одного знака, который меняется при переходе к следующей сумме.

В общем, ряд справа будет типа Лейбница. Поэтому его сумма по абсолютной величине будет меньше абсолютной же величины первого слагаемого. С другой стороны, так как

Последняя же сумма, как интегральная сумма для интеграла при достаточно малом будет меньше любого числа а тогда

откуда и вытекает выполнение условия (3).

Самое же вычисление предложенного интеграла, оправданное изложенными соображениями, проводится весьма просто [см. 461, 6) (б)]:

что выше [492, 3°] мы получили иным путем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление