Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

495. Интегралы Фруллани.

Рассмотрим вопрос о существовании и вычислении одного частного вида несобственных интегралов, обычно называемых интегралами Фруллани (G. Froullani):

Относительно функции сделаем следующие предположения: 1° определена и непрерывна для и 2° существует конечный предел

Из 1° ясно, что существует (при интеграл

Предложенный же интеграл определяется равенством

Применяя к последним двум интегралам порознь обобщенную теорему о среднем значении, получим (где )

и, аналогично,

Так как, очевидно, (при (при то отсюда

Примеры. случае интеграла

имеем:

так что значение интеграла будет

2) Пусть предложен интеграл

Заменяя логарифмы частного разностью логарифмов, можно положить здесь так что .

Ответ.

3) Вычислить интеграл

В этом случае

Ответ.

II. Иной раз функция не имеет конечного предела при но зато существует интеграл

Заменяя в приведенном рассуждении А сразу на придем, взамен (4), к результату

Пример 4):

ибо интеграл как мы знаем, существует

III. Аналогично, если нарушена непрерывность функции при но существует интеграл

то

Впрочем, этот случай приводится к предыдущему подстановкой

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление