Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами.

В заключение рассмотрим еще один частный тип интеграла с бесконечными пределами:

где целые многочлены. Предположим, что многочлен вещественных корней не имеет и что степень по крайней мере, на две единицы ниже степени . При этих условиях интеграл существует вопрос лишь в его вычислении.

Если суть различные корни многочлена то дробь следующим образом разлагается на простые дроби

причем число дробей в каждой скобке равно показателю кратности соответствующего корня.

Распространяя на случай комплексной функции от вещественной переменной элементарные способы вычисления интегралов, видим сразу, что, при

следовательно,

С другой стороны,

и

При первое слагаемое в последнем выражении стремится к 0, а второе к или в зависимости от того, будет ли или

Таким образом, приходим к результату:

где при стоит знак плюс, если соответствующее и знак минус в противном случае. Эту формулу можно несколько видоизменить на основании следующих соображений. Умножим обе части тождества (5) на х. При левая часть будет стремиться к 0, так как степень все же ниже степени . В правой части в пределе уничтожатся все члены с нелинейными знаменателями, так что и предел суммы остальных членов также 0. Отсюда так что если знаком обозначить суммы тех которые отвечают Теперь полученную формулу можно написать в виде

Что касается вычисления коэффициентов то мы ограничимся указанием, относящимся к случаю простого корня для которого но ему отвечает в разложении (5) один только член . Если обе части равенства (5) умножить на то оно представится в виде

где означает группу членов, остающихся конечными при приближении Переходя к пределу при получим

Обратимся теперь к примерам применения формул (6) и (7). 1) На первом месте рассмотрим интеграл

где - натуральные числа, причем Все условия для применения установленной формулы здесь соблюдены.

Корнями знаменателя являются числа

но лишь первые и из них имеют положительные мнимые части. Очевидно, где

По формуле (7), при ,

(с учетом того, что Суммируя прогрессию, получаем:

или, так как

Подставляя

окончательно представим нужную нам сумму в виде

Отсюда же, по формуле (6),

2) Несколько более общий пример:

где - натуральные числа и

Условия выполнены, за исключением того, что знаменатель имеет вещественные корни ±1. Это обстоятельство здесь не существенно, ибо эти корни имеет и числитель, так что дробь могла бы быть сокращена на Впредь эти корни не будем принимать во внимание.

Остальные корни знаменателя суть

Из них положительные мнимые части имеют первые По формуле (7)

так что

Полученное выражение последовательно преобразуется так:

Окончательно,

Заметим, что из этой формулы легко можно было бы получить и предыдущий результат, если заменить на и положить

3) Наконец, рассмотрим интеграл

где

Вводя угол перепишем интеграл так:

Для вычисления корней знаменателя положим тогда z определится из уравнений именно, . Для х получаются две серии значений

При этом положительную мнимую часть будут иметь первые из первой серии и последние из второй.

Соответствующие корням коэффициенты вычисляются по формуле (7):

Суммируя эти коэффициенты и умножая на получим

Для второй группы корней аналогично получится выражение, сопряженное с этим; их сумма даст удвоенную вещественную часть. После элементарных преобразований эта сумма сведется к

Возвращаясь к углу окончательно получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление