Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

497. Смешанные примеры и упражнения.

1) Доказать существование интеграла

Особых точек бесконечное множество: . В любом конечном промежутке их конечное число, и интеграл сходится. Вопрос лишь о сходимости интеграла в бесконечном промежутке.

Имеем:

2) Если в сходящемся [478, 5) (в)] интеграле

сделать подстановку придем к интегралу

последний, таким образом, сходится, несмотря на то, что подинтегральная функция при безграничном возрастании колеблется между

3) Мы видели только что, что для сходимости интеграла

вовсе не необходимо даже, чтобы было

Доказать, что, однако,

(а) если существует предел

то - в случае сходимости интеграла (8) - этот предел необходимо равен 0; больше того,

(б) если существует предел

то и этот предел необходимо равен 0, т. е.

(в) если интегрируемая в промежутке функция монотонно убывает, то это условие (10) необходимо выполняется.

Доказательство [для (б) и (в)] сходно с доказательством аналогичных предложений для положительных рядов [375, 3)].

Отметим еще (тоже по аналогии с рядами), что даже для монотонно убывающей функции выполнение условия (10) не гарантирует сходимости интеграла (8): примером может служить расходящийся интеграл

4) Распространить утверждение, доказанное в 6), 478, на случай, когда функция в промежутке интегрируема в несобственном смысле (при сохранении прочих условий). С помощью этого установить, что - в предположении, что монотонно стремится к 0 при интеграл

сходится или расходится одновременно с интегралом

в то время как интеграл

сходится во всяком случае.

5) Вычислить интегралы

Указание, а) Подстановкой убеждаемся, что интеграл приводится к

(б), (в) Интегралы приводятся к подстановками

6) Вычислить интеграл

Имеем (полагая

Интегрируя по частям, затем получим:

7) Найти интеграл

Положив и использовав тождество

получим, что

8) Вычислить интеграл

Решение. Воспользовавшись формулой [491, 13)], имеем

9) Вычислить интегралы

Решение. Обозначим в через х и сделаем подстановку тогда

и

Вводя еще раз новую переменную по формуле получим:

Итак, Ниже [511, 3)] мы установим более общий результат.

10) Интегрированием по частям установить следующие результаты:

11) Легко видеть, что [492, 3°, 494, 5)]

Отсюда, так как

то, очевидно (если считать для простоты а и

Этот интеграл многократно применялся Дирихле и известен под названием разрывного множителя Дирихле.

К нему приводятся многие другие интегралы. Например (если и а - наибольшее из них):

(замена произведения двух синусов разностью косинусов) или (снова считая

(интегрирование по частям).

Последний результат может быть обобщен следующим образом.

Если

Доказательство проводится по методу математической индукции (интегрирование по частям!).

12) Вычислить интеграл

Указание, Проинтегрировать по частям; использовать разрывной множитель Дирихле. Ответ:

13) Вычислить

Решение. Особая точка Пользуясь тождеством

сразу выделяем сходящийся интеграл

Затем, с помощью легких преобразований, находим

так что

получается, если в последнем интеграле положить просто

Окончательно,

14) Пусть функция удовлетворяет условиям

В предположении, что существует интеграл слева, доказать формулу

[Она принадлежит Лобачевскому и доказывается с помощью разложения функции - на простые дроби так же, как и в частном случае

Применить эту формулу к вычислению интегралов:

Интеграл (а) приводится к уже известному [312 (8)] интегралу

а интеграл к интегралу

(подстановка: ), значение которого

будет установлено ниже [511, 9)].

15) Налагая те же условия на функцию доказать формулу (снова - в предположении существования интеграла слева):

Указание. И здесь применим метод Лобачевского, лишь с ссылкой на разложение функции на простые дроби [441, 9)].

При отсюда снова получается известный нам интеграл

[см. ]

16) Вычислить интегралы

Указание. Все приводятся к интегралам Фруллани; первые два интеграла при расходятся.

Ответ,

17) Вычислить интегралы

Указание. Все три приводятся к интегралам Фруллани интегрированием по частям.

18) Найти интеграл

Решение. Имеем тождество

Интегралы от второго и от третьего выражений взаимно уничтожаются (в чем легко убедиться заменой переменной), и все сводится к интегралу Фруллани.

Ответ.

19) Найти интеграл

Решение. Имеем (для

Первый из интегралов справа преобразуем интегрированием по частям.

так что, окончательно

При первое выражение справа стремится к а второе к интегралу Фруллани:

20) Установить формулу

в предположении, что (последнее условие, очевидно, необходимо для существования интеграла).

У казание. Полагая воспользоваться формулами

Легко обобщить предложенную формулу на случай любой функции удовлетворяющей условиям п° 495, II.

21) Найти выражение для интеграла

где - натуральные числа и

Решение. Распространяя на случай бесконечного промежутка обобщенную формулу интегрирования по частям [311], сразу получим (так как двойная подстановка здесь исчезает):

Для вычисления последнего интеграла удобно воспользоваться известными нам разложениями по синусам или косинусам кратных дуг [461, 3), (а) и Рассмотрим различные могущие представиться здесь случаи.

. Тогда

и, по формуле (11),

. В этом случае:

Легко видеть, что левая часть (так как при обращается в 0, так что сумма коэффициентов при косинусах равна 0, и мы можем использовать предыдущее упражнение 20). Отсюда

Аналогично устанавливаются формулы для случаев: (в) Отметим, что, в частности, для любого

22) С помощью того же разложения 461, 3) (б) легко получить, что (при

Впрочем, с помощью элементарных соображений, это выражение приводится к более простому:

Интеграл расходится. Интеграл Фруллани

не удовлетворяет условиям но с помощью разложения 461, 3) (а) легко установить, что он приводится к случаю II интеграла Фруллани, если заменить на

Окончательно, по формуле 4а):

Интеграл ни при каком натуральном не сходится. Но при сходится и, по формуле Фруллани 4а), сразу имеем

При используя разложение в 461, 3) (в), как и выше в случае синусов, получим

23) Установить следующие формулы

Доказательство, (а) Предполагая интегрируем по частям:

Так как

то двойная подстановка обращается в 0, и интеграл приводится к разрывному множителю Дирихле

Особо рассмотрим случай При любом повторно интегрируя по частям, получим:

По второй теореме о среднем значении [487], последнее выражение приводится к виду: а этот интеграл стремится к 0 при А - в силу условия

Больцано - Коши [475], примененного к сходящемуся интегралу Итак,

Доказательства в прочих случаях аналогичны.

24) Доказать следующие формулы

Доказательство, (а) Интегрированием по частям предложенный интеграл приводится к интегралам типа, рассмотренного в 23) (а):

смотря по тому, будет ли или

Сделаем еще пояснение относительно обращения в 0 двойной подстановки. Из уже знакомой нам оценки

явствует, что выражение под знаком подстановки стремится к 0 вместе другой стороны,

откуда следует, что упомянутое выражение стремится к 0 и при

Доказательство остальных формул проводится аналогично, со ссылками на формулы, установленные в 23) (б), (в) и (г), (д).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление