Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

499. Примеры.

1) Пусть требуется вычислить интеграл

в последнем интеграле единственной особой точкой является 0.

Разлагая по степеням х, остановимся на члене, содержащем и положим

Тогда

Значение легко вычисляется:

Что же касается то его найдем по формуле Симпсона, деля промежуток на частей и ведя вычисление на 6 знаков:

Истинное же значение I равно [как это вытекает из теории функции «Бета 529 (5а)],

Произведем оценку погрешности (не пользуясь, разумеется, тем, что мы - из других соображений - можем здесь получить точное значение интеграла). Имеем:

и возрастает вместе с х, так что наибольшего значения достигает при Отсюда легко получить, что

Погрешность формулы Симпсона выражается по известной формуле [327]:

Таким образом,

С другой стороны, погрешность полученного для значения, проистекающая из округлений, абсолютно меньше Такова же абсолютная погрешность значения Общая погрешность лежит между так что

Окончательно,

2) Для интеграла обе точки 0 и 1 являются особыми; соответственно этому разбиваем его на два:

так что

Сразу получаем

Интеграл вычисляем по формуле Симпсона, на шесть знаков: Отсюда Оценивая погрешность, как и только что, найдем:

Аналогично,

Найдем, что

Если оценить погрешность, как выше, то получим

Таким образом,

3) Пусть предложен интеграл особенность при

Для выделения ее прибегнем к приему, сходному с примененным выше. Положим:

Легко найти (с помощью интегрирования по частям): Интеграл же вычисляем по формуле Симпсона на пять знаков); мы получим: Таким образом, Истинное значение искомого интеграла [519, 1) (б)] есть

При оценке погрешности производная вычисляется по формуле Лейбница [117]. При этом удобно воспользоваться легко доказываемой формулой:

(где с лежит между а и взяв Грубая оценка дает отсюда

Общая погрешность ±0,00013. Окончательно,

4) Рассмотрим, наконец, пример другого типа

с особой точкой 0.

Естественно сопоставить подинтегральную функцию с функцией для которой интеграл вычисляется легко

Интеграл же от функции вычисляем по формуле Симпсона, при на шесть знаков. Имеем:

Поэтому

На деле интеграл I лишь множителем М отличается от известного уже нам [492, 1°] интеграла:

и, следовательно,

мы видим, что в полученном выше значении все шесть знаков верны.

Не зная истинного значения, мы вынуждены были бы пользоваться оценкой погрешности формулы Симпсона. Здесь

Можно показать, что откуда Учитывая и погрешность от округлений, мы могли бы лишь установить, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление