Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов.

Метод выделения особенностей может оказаться полезным и при вычислении собственных интегралов, если подинтегральная функция, даже будучи непрерывной, не имеет нужного числа непрерывных производных (что затрудняет оценку погрешности). Поясним это на примере.

Рассмотрим интеграл

Легко видеть, что при подинтегральная функция стремится к 0, так что эту функцию можно считать непрерывной во всем промежутке интегрирования. Но уже первая производная подинтегральной функции обращается при в бесконечность. Воспользовавшись разложением логарифма, представим нашу функцию в виде суммы двух функций

и

Интеграл от первой функции берется легко: его значение есть Интеграл же от второй функции (имеющей уже четыре непрерывных производных!) вычислим по формуле Симпсона, на пять знаков. Мы получим -0,00348, так что общий результат будет -0,20876.

Так как то Окончательно,

(На деле же в полученном приближенном значении все знаки будут верны, так как истинное значение I будет

Любопытно отметить, что если формулу Симпсона (при том же и по-прежнему вычисляя на пять знаков) применить к подинтегральной функции без предварительного выделения особенности, то получим т. е. всего три верных знака.

Таким образом, если не прибегнуть к выделению особенности, то мы не только испытаем затруднение в оценке погрешности, но можем столкнуться и с фактическим понижением точности результатах

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление