Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом.

Редко удается вычислять интеграл на основе его определения, как предела собственного интеграла приближенно полагая (при достаточно большом причем последний интеграл вычисляется уже изученными приемами. Это может оказаться полезным разве лишь при очень быстром убывании подинтегральной функции с возрастанием х, так что - даже при небольшом А - написанное выше приближенное равенство имеет уже достаточную точность.

1) Так, например, будет обстоять дело в случае интеграла

Из неравенства следует, что 0

и

При А = 3:

Что же касается интеграла то его вычислим по формуле Симпсона, при на пять знаков; это дает нам 0,88621. Нетрудно получить оценку: Общая погрешность содержится между -0,00004 и 0,00006. Таким образом,

Точное значение как мы знаем [492, 2°], есть

Чаще бывает выгодно либо преобразовать интеграл к конечным пределам, либо разбить его на два: и второй преобразовать к конечным пределам.

2) Возьмем снова тот же интеграл и представим его в виде суммы:

вычислим по формуле Симпсона, на пять знаков, подстановкой преобразуем к виду:

Обычным путем получим так что

Оценкой погрешности заниматься не будем.

Если интеграл с бесконечным пределом имеет особую точку и на конечном расстоянии, то надлежит разбить интеграл на два, содержащих каждый лишь одну особенность.

3) Рассмотрим (при интеграл

Интеграл находится путем выделения особенности:

вычисляется по формуле Симпсона.

Пусть, например, ( на пять знаков) получаем значение 0,09518. Итак,

Интеграл подстановкой — приводим к виду

где . Аналогично прежнему получим: Окончательно, . Впоследствии мы узнаем, что истинное значение I есть

Иногда в случае «медленно сходящегося интеграла» все же удается выделить из него (например, путем повторного интегрирования по частям) легко вычисляемые члены с тем, чтобы остающийся интеграл был уже мал.

4) Пусть предложен интеграл

Представим его в виде суммы интегралов: не стремясь, однако, к тому, чтобы второй из них был мал. Интегрируя затем по частям, будем иметь:

Взяв, например, получим:

Сумма проинтегрированных членов равна Далее

Вычисляя интеграл по формуле Симпсона на четыре знака), найдем: 1,4182.

Оценка погрешности:

Отсюда, учитывая общую погрешность,

Как мы знаем, 492, 3°, на деле

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление