Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

502. Использование асимптотических разложений.

При приближенном вычислении интегралов вида

часто оказывается выгодным использовать их асимптотические разложения. Поясним это на примерах.

1°. Интегральный логарифм. Если интегральный логарифм И а определяется так:

в случае же этот интеграл расходится, и его понимают в смысле главного значения:

[см. 484]

Пусть сначала 1. Положим при и сделаем в интеграле (12) подстановку

Полагая мы придем к интегралу

Так как

то отсюда [489, 4)]

где дополнительный член выражается интегралом

Рассматриваемый интеграл, как мы знаем [483, 3) (а)], для положительных значений а и (хотя бы и меньших единицы) сходится , следовательно, действительно может быть положен в основу определения функции В. Установим некоторые ее свойства.

1°. Прежде всего, почти непосредственно (подстановкой получаем:

так что функция В является симметричной относительно а и . С помощью интегрирования по частям из формулы (1), при 1, находим

откуда

Эту формулу можно применять с целью уменьшения пока остается больше 1; таким образом всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал

Впрочем, того же можно добиться и в отношении первого аргумента, так как - ввиду симметричности В - имеет место и другая формула приведения

Если равно натуральному числу то, последовательно применяя формулу (2), найдем:

Сумма первых двух интегралов есть не зависящая от х постоянная Остается лишь последний интеграл разложить по степеням х, чтобы получить требуемый результат:

Однако этим разложением невыгодно пользоваться при больших значениях и расходящееся разложение (16) имеет перед ним в указанном случае существенное преимущество. Так, Стилтьес, взяв 23 члена ряда (16), нашел

в ряде же (17) понадобилось бы больше 1010 членов, чтобы осуществить ту же точность!

2°. Интегральный косинус и синус:

Для упрощения выкладок введем в рассмотрение интеграл от комплексной функции по вещественной переменной:

Последовательным интегрированием по частям получается формула

где

Если выведенную формулу разделить почленно на и отдельно приравнять вещественные и мнимые члены в обеих частях равенства, то получим более удобные для вычислений формулы:

и

где, соответственно,

и

Легко установить [например, с помощью формулы Бонне, 306, (3)], что

Переходя к пределу при получим, что дополнительные члены в формулах (18) и (19) по абсолютной величине не превосходят каждый удвоенного члена (соответствующего разложения), следующего за выписанными членами. Отсюда явствует, что, продолжив разложения (18) и (19) до бесконечности, мы придем к асимптотическим представлениям интегралов в левых частях.

В частности, например, из (19), полагая там найдем

При отсюда легко найти приближенные значения

Например, для вычисления достаточно трех членов в скобках:

так как погрешность абсолютно меньше то содержится между 0,07862 и 0,07868, и окончательно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление