Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции

286. Интегрирование дифференциалов

Дифференциалы этого вида всегда могут быть рационализированы подстановкой . Действительно,

так что

Таким образом, интегралы типа

всегда берутся в конечном виде, для их выражения, кроме функций, встречающихся при интегрировании рациональных дифференциалов, нужны лишь еще тригонометрические функции.

Упомянутая подстановка, являющаяся универсальной для интеграла типа (1), приводит иной раз к сложным выкладкам. Ниже указаны случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более

простых подстановок. Предварительно сделаем следующие элементарные замечания из области алгебры.

Если целая или дробная рациональная функция не меняет своего значения при изменении знака одного из аргументов, например, и, т. е. если

то она может быть приведена к виду

содержащему лишь четные степени и.

Если же, наоборот, при изменении знака и функция также меняет знак, т. е. если

то она приводится к виду

это сразу вытекает из предыдущего замечания, если его применить к функции

I. Пусть теперь меняет знак при изменении знака и; тогда

и рационализация достигается подстановкой

II. Аналогично, если меняет знак при изменении знака то

так что здесь целесообразна подстановка

Предположим, наконец, что функция не меняет своего значения при одновременном изменении знаков и и

В этом случае, заменяя и на будем иметь

По свойству функции если изменить знаки (отношение при этом не изменится),

а тогда, как мы знаем,

Поэтому

т. e. попросту

Здесь достигает цели подстановка ибо

Замечание. Нужно сказать, что каково бы ни было рациональное выражение его всегда можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных выше частных типов. Например, можно положить

Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака и, второе меняет знак при изменении знака , а третье сохраняет значение при одновременном изменении знака и . Разбив выражение на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку ко второму - подстановку и, наконец, к третьему - подстановку Таким образом, для вычисления интегралов типа (1) достаточно этих трех подстановок.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление