Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

504. Равномерное стремление к предельной функции.

Решающую роль в предстоящих исследованиях будет играть указанное в заголовке понятие. Пусть функция определена, в общем случае,

в двумерном множестве где и означают множества значений, принимаемых порознь переменными причем имеет своей точкой сгущения, скажем, конечное число

Если 1) для функции при существует конечная предельная функция

и 2) для любого числа найдется такое не зависящее от х число что

сразу для всех х из X, то говорят, что функция стремится к предельной функции равномерно относительно х в области X.

Нетрудно перефразировать это определение и на тот случай, когда есть несобственное число, например, при этом лишь неравенство вида заменяется неравенством вида . В главе XII [428] мы имели уже дело с частным случаем такого равномерного приближения к предельной функции; там речь шла о функции содержащей в качестве параметра натуральный значок

В 429, имея дело с последовательностью функций, мы установили, что для равномерной сходимости необходимо и достаточно, так сказать, равномерное выполнение принципа сходимости. То же можно сделать и в общем случае. Именно (если ограничиться предположением, что конечно):

1°. Для того чтобы функция при имела предельную функцию и стремилась к ней равномерно относительно х в области X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовало такое не зависящее от х число что неравенство

выполняется для всех х из X сразу, лишь только

[В случае взамен последних неравенств появляются неравенства

Необходимость. Пусть имеет место равномерная сходимость. Заменив в определении на и соответственно выбрав ,

возьмем теперь два значения из так чтобы выполнялись условия (5). Тогда будем иметь, каково бы ни было х,

откуда и следует (4).

Достаточность. Если упомянутое условие выполнено, то прежде всего ясно существование предельной функции (2). Переходя затем к пределу в неравенстве (4) при (причем у фиксировано так, что получим:

Этим и установлено равномерное стремление функции к предельной функции

Установим теперь возможность сведения рассматриваемого вопроса к равномерной сходимости последовательностей функций:

2°. Для того чтобы функция при стремилась к функции равномерно (относительно х в области X), необходимо и достаточно, чтобы к равномерно сходилась каждая последовательность по какому бы закону варианта (со значениями из ) ни стремилась к

Доказательство ограничим случаем конечного

Необходимость. Предполагая равномерное стремление по произвольно взятому найдем соответствующее, в согласии с определением, число [см. (3)]. Какова бы ни была варианта Для нее существует такой номер что лишь только Но тогда, при тех же значениях в силу (3), выполняется неравенство

и притом сразу для всех х. Таким образом, доказана равномерная сходимость последовательности

Достаточность. Пусть теперь дано, что каждая такая последовательность сходится к равномерно.

Для того чтобы доказать равномерное стремление функции предположим противное. Тогда для некоторого какое бы ни взять найдется такое значение из что хотя все же по крайней мере для одного значения из X будет выполняться неравенство:

Возьмем теперь последовательность положительных чисел сходящуюся к нулю. Каждому по сказанному, можно сопоставить два значения такие, что

Ясно, что но последовательность равномерно сходиться к не может, ввиду (6). Мы пришли к противоречию с тем, что дано.

Пусть теперь множество X представляет собою конечный промежуток . Мы знаем [436], что если последовательность функций, непрерывных (или интегрируемых в собственном смысле), равномерно сходится к предельной функции, то и последняя необходимо будет непрерывной (интегрируемой). Ввиду 2° непосредственно ясно, что все это переносится и на общий случай:

3°. Если функция при любом у из непрерывна (интегрируема) по х в промежутке и при равномерно стремится к предельной функции то и эта функция также будет непрерывна (интегрируема).

В интересах дальнейшего изложения мы установим еще следующее предложение, обобщающее теорему Дини п° 431. При этом мы будем считать, что все

4°. Пусть функция при любом у из будет непрерывна по х в промежутке и при возрастании у, монотонно возрастая, стремится к непрерывной же предельной функции Тогда стремление это необходимо будет равномерным относительно х в промежутке X.

Выделим из монотонно возрастающую последовательность значений у, сходящуюся к и рассмотрим соответствующую последовательность функций очевидно, также монотонно возрастающую вместе с Так как ряд

состоит из положительных членов (возможно, за исключением первого члена), то теорема Дини позволяет утверждать, что этот ряд сходится равномерно относительно х в промежутке X. Следовательно, по заданному найдется такой номер что неравенство

окажется выполненным сразу для всех х из X. Ввиду монотонного возрастания функции вместе с у, тогда подавно выполняется и неравенство

лишь только этим доказывается наше утверждение.

Хотя установленный частный признак равномерного приближения и кажется очень узким, но он нередко бывает полезен, избавляя от необходимости иным путем убеждаться в наличии равномерного приближения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление