Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

505. Перестановка двух предельных переходов.

В настоящей главе через все изложение красной нитью проходит вопрос о перестановке двух предельных процессов того или иного

типа. В простейшей форме этот вопрос впервые встретился нам в 168, когда речь шла о существовании и равенстве повторных пределов:

в предположении, что существует двойной предел:

Затем в 436 мы видели, что теорема о почленном переходе к пределу в равномерно сходящемся функциональном ряде также может быть выражена в подобной форме:

на этот раз - в предположении равномерной сходимости при функции к своей предельной функции.

Пользуясь введенным в предыдущем п° понятием, мы сформулируем сейчас общую теорему того же типа. Мы будем предполагать, что функция определена в двумерном множестве причем множества имеют порознь точки сгущения (конечные или нет).

Пусть при каждом х из X существует простой предел

а при каждом у из - простой предел

Если при функция стремится к предельной функции равномерно относительно х в области X, то существуют и равны оба повторных предела (7).

Легко было бы свести эту теорему к упомянутому выше частному случаю ее, но - для большей отчетливости - мы предпочитаем дать здесь независимое доказательство (предполагая - для определенности - оба числа конечными).

Задавшись произвольным числом в силу теоремы 1° 504, найдем соответствующее ему число такое, что неравенства (5) влекут за собою (4), каково бы ни было х из X. Фиксируем значения , удовлетворяющие условиям (5), а х предположим стремящимся к переходя в (4) к пределу, получим:

Таким образом, для функции при предельном переходе выполняется классическое условие Больцано-Коши [58],

откуда и следует существование конечного предела

Теперь ясно, что, лишь только будет (при любом х из X)

в этом легко убедиться, переходя к пределу в неравенствах (4) и (8) при и фиксированных Сохраняя выбранное значение у, найдем такое что

при Тогда из всех этих неравенств следует, что при тех же значениях х выполняется и неравенство

так что и

Теорема доказана.

Замечание. Можно показать, что число А, о котором только что шла речь, в то же время будет и двойным пределом функции при совместном предельном переходе Это обстоятельство сближает доказанную теорему с теоремой п° 168.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление