Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

507. Дифференцирование под знаком интеграла.

При изучении свойств функции (1), которая задана интегралом, содержащим параметр у, важное значение имеет вопрос о производной этой функции по параметру.

В предположении существования частной производной Лейбниц дал для вычисления производной правило, которое в обозначениях Лагранжа записывается так:

или - если воспользоваться более выразительными обозначениями Коши -

Если такая перестановка знаков производной (по у) и интеграла (по х) допустима, то говорят, что функцию (1) можно дифференцировать по параметру под знаком интеграла.

Самое вычисление производной по указанной формуле и получило название «правила Лейбница».

Следующая теорема устанавливает простые достаточные условия для применимости этого правила.

Теорема 3. Пусть функция определенная в прямоугольнике будет непрерывна по при любом постоянном у в Предположим, далее, что во всей области существует

частная производная непрерывная как функция двух переменных Тогда при любом у из имеет место формула (10).

Непрерывность функции по х обеспечивает существование интеграла (1).

Фиксируя любое значение придадим ему приращение Тогда

так что

Интеграл справа зависит от параметра к. Нам предстоит доказать, что при здесь допустим предельный переход под знаком интеграла. Этим будет установлено и существование производной

и наличие требуемого равенства

С этой целью, сначала по формуле Лагранжа напишем

Пользуясь же равномерной непрерывностью функции по произвольному найдем такое что при

будет выполняться неравенство

Полагая здесь и считая получим, с учетом (12), что сразу для всех х будет

Отсюда ясно, что подинтегральная функция (12) при равномерно (относительно х) стремится к предельной функции Этим, по теореме 1, и оправдывается предельный переход под знаком интеграла (11).

В виде примеров снова рассмотрим интегралы, о которых была речь в предыдущем п°. Очевидно, для

Легко проверить полученные результаты, непосредственно вычислив эти интегралы в конечном виде:

и затем продифференцировав по у.

При условия теоремы 3 нарушены; посмотрим, как обстоит дело с производными функций при Если в первом интеграле подинтегральному выражению при чтобы сохранить его непрерывность, приписать значение то получим так что функция будет непрерывна по у и при Но

при так что конечной производной при не существует. Для функции же имеем:

при Здесь между тем как производная по у от подинтегральной функции при равна нулю, так что и интеграл от нее тоже нуль: правило Лейбница не приложимо.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление