Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

508. Интегрирование под знаком интеграла.

Поставим, наконец, вопрос об интеграле по у от функции (1), скажем, в промежутке

Нас особо будет интересовать случай, когда этот интеграл выразится формулой:

которую - без скобок - пишут обычно так:

При наличии ее говорят, что функцию (1) можно интегрировать по параметру у под знаком интеграла (взятого по переменной

Простейшие условия, достаточные для равенства двух повторных интегралов (13), дает

Теорема 4. Если функция непрерывна (по обеим переменным) в прямоугольнике то имеет место формула (13). Докажем более общее равенство

где

В левой и в правой его частях мы имеем две функции от параметра вычислим их производные по

Внешний интеграл в левой части имеет подинтегральную функцию (1), непрерывную по у в силу теоремы 2. Поэтому его производная по переменному верхнему пределу будет равна подинтегральной функции, вычисленной при , т. е. интегралу

В правой части (13 стоит интеграл

Функция удовлетворяет условиям теоремы 3. Действительно, непрерывна по х, в силу теоремы 2, Затем производная

непрерывна как функция двух переменных. Поэтому к упомянутому интегралу применимо правило Лейбница:

Таким образом, левая и правая части равенства (13, как функции от имеют равные производные, следовательно, могут разниться разве лишь на постоянную. Но при оба упомянутых выражения обращаются, очевидно, в нуль; следовательно, они тождественны при всех значениях и равенство (13 доказано.

При из него, в частности, и получается равенство (13).

Рассмотрим примеры. 1) Пусть в прямоугольнике где 0 Условия теоремы соблюдены. Имеем

Слева легко получается окончательный результат

справа же мы приходим к интегралу Таким образом, благодаря перестановке интегрирований, мы находим его значение [ср. 497, 16) (в)].

2) В случае функции в прямоугольнике условия теоремы не выполнены: налицо разрыв в точке (0, 0). Имеем:

в то время как

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление