Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра.

Обратимся к рассмотрению более сложного случая, когда не только подинтегральное выражение содержит параметр, но и самые пределы интеграла зависят от него.

В этом случае интеграл имеет вид

Ограничимся исследованием вопроса о непрерывности и дифференцируемости по параметру подобного интеграла.

Теорема 5. Пусть функция определена и непрерывна в прямоугольнике , а кривые

непрерывны и не выходят за его пределы. Тогда интеграл (14) представляет собой непрерывную функцию от у в

Если есть любое частное значение у, то интеграл (14) можно написать в виде

Первый интеграл, в котором пределы уже постоянны, при стремится к

по теореме 2. Остальные же два интеграла допускают оценку

где и в силу непрерывности функций стремятся к нулю.

Таким образом, окончательно

что и доказывает теорему.

Теорема 6. Если, сверх сказанного, функция допускает в прямоугольнике непрерывную производную а также существуют и производные то интеграл (14) имеет

производную по параметру, которая выражается формулой

И здесь мы будем исходить из равенства (15). Первый интеграл при имеет производную, представляемую интегралом от производной

- по теореме 3. Для второго интеграла (значение которого при есть нуль) имеем, по теореме о среднем:

где х содержится между Отсюда производная второго интеграла при которая совпадает с пределом предшествующего выражения при будет

Аналогично, для производной третьего интеграла при получим

Объединяя все эти результаты, убедимся в том, что производная существует и дается указанной формулой.

Замечание. Заключения обеих теорем сохраняют свою силу и в предположении, что функция задана (и обладает указанными свойствами) лишь в области, содержащейся между кривыми

Возможность рассматривать функцию и вне этой области использована была для упрощения рассуждений.

Поучительно взглянуть на установленные результаты и с такой точки зрения. Интеграл получается из интеграла

зависящего от трех параметров подстановкой Вопрос исчерпывается применением общих теорем о непрерывности и о дифференцировании сложной функции. В частности,

формула (16) написана по классической схеме:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление