Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

510. Введение множителя, зависящего лишь от х.

Легко получить некоторое обобщение установленных вьппе результатов, и притом - без привлечения новых идей. Именно, можно вместо (1) рассмотреть интеграл

где является функцией от х, которая абсолютно интегрируема в промежутке (возможно, и в несобственном смысле). Таким путем удается частично распространить изложенную элементарную теорию и на несобственные интегралы.

Сформулируем предложения, аналогичные теоремам 1, 2, 3 и 4: Теорема 1. При предположениях теоремы 1 имеет место формула

Прежде всего заметим, что все интегралы, фигурирующие в этих формулах, существуют. Интегрируемость предельной функции была уже доказана. Существование же интегралов от (вообще говоря, несобственных) следует из п° 482.

Теперь, задавшись числом найдем, ввиду равномерного стремления такое число что имеет место (3). Тогда при справедлива будет такая оценка:

что и доказывает нашу формулу, ибо справа произвольно малое число умножается на постоянное конечное число

В частности, подобная теорема имеет место и для последовательности функций в роли параметра. Мы

сформулируем этот результат «на языке бесконечных рядов», так как в таком виде он чаще применяется.

Следствие. Если 1) члены ряда

- интегрируемые в (в собственном смысле) функции, и ряд сходится равномерно, - абсолютно интегрируемая в функция (хотя бы и в несобственном смысле), то ряд

можно интегрировать почленно.

Далее, совершенно так же, как и теоремы 2 и 3 (но лишь со ссылкой на теорему 1 вместо 1), доказывается:

Теорема 2. При предположениях теоремы 2 интеграл (1 будет непрерывной функцией от у в промежутке

Теорема 3. При предположениях теоремы 3 функция (1 будет дифференцируема по параметру, и имеет место формула:

Наконец:

Теорема 4. При предположениях теоремы 4 справедливо равенство повторных интегралов

Доказательство буквально воспроизводит доказательство теоремы 4 (лишь со ссылкой на теоремы 2 и 3 вместо теорем 2 и 3).

Многочисленные примеры применения этих (равно как и предшествующих) теорем читатель найдет в следующем п°.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление