Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

511. Примеры.

Используя разложение в ряд функции представить в виде суммы ряда интеграл

По следствию из теоремы 1 имеем:

2) Разложением в ряд вычислить интеграл

По теореме п° 437, 5°, ряд

равномерно сходится в промежутке [0, 1]. Так как абсолютно интегрируема в этом промежутке, то, по тому же следствию из теоремы 1,

Ввиду тождества

учитывая притом известные разложения

выражение для можно представить в виде:

Здесь для 1 получилось значение «в конечном виде». Разумеется, это удается не всегда.

3) Обозначая через многочлен Лежандра, доказать, что

Если вспомнить происхождение многочленов Лежандра как коэффициентов разложения по степеням а выражения [447, 8)], то достаточно, рассмотрев ряд

установить, что сумма его равна указанному выражению при

Так как [ср. 461, 2)], при ,

и ряд сходится равномерно относительно (ибо мажорируется геометрической прогрессией то ряд (17) - снова потому же следствию - можно преобразовать так:

Прибегая к тем же подстановкам, что и в задаче 9) 497 (где, собственно, был установлен частный результат, для и 1), последовательно получим:

что и завершает доказательство.

4) Воспроизведем один из приемов, с помощью которых Эйлер получил свой результат:

Вычислим интеграл

еще иначе, воспользовавшись известным разложением арксинуса

которое в промежутке [0, 1] сходится равномерно. Будем иметь

Так как

то получается, что

откуда уже легко прийти к упомянутой вначале формуле.

5) Показать, что прием Лобачевского, с помощью которого в 14) и 15) п° 497 были выведены формулы

применим и в том случае, когда функция в промежутке интегрируема в несобственном смысле (при сохранении прочих условий).

С помощью этих формул получаются, например, следующие интегралы:

(интегрирование по частям);

6) Установить непосредственно, что для интегралов

предельный переход при не может быть произведен под знаком интеграла. Удостовериться в нарушении условий теоремы 2.

7) Применить правило Лейбница к вычислению производной по параметру от интеграла

Легко проверить, что условия теоремы 3 здесь соблюдены. Имеем

Отсюда, интегрируя по а, восстанавливаем значение

Для того чтобы определить постоянную С, представим интеграл в виде

так что, если использовать и найденное для выражение,

Перейдем здесь к пределу при так как

то интеграл стремится к нулю, и находим: Окончательно, для [ср. 497, 7)]:

Весьма замечательно, что дифференцирование по правилу Лейбница позволило найти конечное выражение предложенного интеграла. Этот метод нередко приводит к цели.

8) Еще проще вычисляется уже известный нам [307, 4); 314, 14); 440, 11)] интеграл

По правилу Лейбница

С помощью подстановки легко установить, что полученный интеграл равен 0; в таком случае

Но значит, Итак, при интеграл

9) Вычислить интеграл

Вводя параметр, рассмотрим более общий интеграл

из которого предложенный интеграл получается при . Условия теоремы 3, если положить

выполнены. Дифференцируя по у (под знаком интеграла), найдем

этот интеграл легко вычисляется, например, с помощью подстановки

Отсюда, интегрируя, находим

Так как то при получаем, наконец, искомый интеграл

10) Доказать, что выражения

(при целом удовлетворяют так называемому дифференциальному уравнению Бесселя:

Здесь роль параметра играет х. Дифференцируя под знаком интеграла дважды (теорема 3), найдем, что сумма в левой части уравнения (при подстановке вместо и указанных выражений) будет равна:

11) Доказать, что уравнению

(при целом удовлетворяет функция (А, В - произвольные постоянные), где

Очевидно, достаточно проверить, что уравнению удовлетворяют функции порознь. Это выполняется, как и выше, с помощью дифференцирования под знаком интеграла, причем к функции применяется теорема 3, а к функции

еще и теорема 3.

12) Найти производные от полных эллиптических интегралов

по модулю к

Имеем

Аналогично

Но

так что

Полученные формулы имеют интересные применения. Например, если ввести сопряженный модуль и функции

то легко получить — откуда следует, что

Для определения величины этой постоянной с установим предел левой части при : этот предел, очевидно, и будет с. Прежде всего, легко получить, что

[теорема 2, 506]. Затем имеем:

так что

Искомый предел оказывается равным и мы приходим окончательно к известно соотношению Лежандра:

13) Доказать тождество

где есть произвольная функция, непрерывная в промежутке

Решение. Прибегнем к методу математической индукции. При тождество очевидно. Допустим теперь, что оно справедливо при каком-нибудь и докажем его справедливость и при замене на

Для краткости положим

Продифференцируем по х выражение

с применением теоремы 6. Так как нижний предел здесь постоянен, а на верхнем пределе, т. е. при подинтегральная функция обращается в нуль, то внеинтегральные члены формулы (16) исчезают, и мы получим

Ввиду того, что отсюда

Подставляя вместо его выражение в виде повторного интеграла, придем к такому же выражению и для

Совершенно так же доказывается и более общий результат:

где - непрерывные функции в промежутке причем имеет и непрерывную производную.

14) Найти производную по параметру а интеграла

где непрерывна вместе со своей производной в промежутке [0, а] и О

Применить формулу (16) непосредственно мы не можем, ибо подинтегральное выражение при вообще говоря, обращается в бесконечность. Мы прибегнем к обходному пути, именно, подстановкой преобразуем интеграл к виду:

здесь применима уже теорема 3. Найдем, дифференцируя интеграл по правилу Лейбница:

или, если вернуться к прежней переменной,

Преобразовав первый из этих интегралов путем интегрирования по частям, можно придать формуле более простой вид:

15) Пусть

Установить непосредственно, что к интегралу правило Лейбница при неприложимо.

То же для функции

16) Представим вычисление интеграла

который мы нашли в 9) дифференцированием по параметру, в другом виде.

Заменяя в подинтегральном выражении равным ему интегралом

перепишем I в форме повторного интеграла

Применяя теорему 4, переставим интегрирования:

17) Вычислить путем интегрирования под знаком интеграла интеграл

Представим подинтегральную функцию в виде интеграла

так что

Переставляя интегрирования (по теореме 4), получим:

Так как

то, окончательно

18) Приведем еще примеры случаев, когда перестановка двух интегрирований оказывается недопустимой:

Само собою разумеется, что в этих случаях условия соответствующей теоремы нарушаются: подинтегральная функция терпит разрыв в точке

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление