Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры.

Опираясь на теорему 4, Гаусс дал весьма своеобразное доказательство основной теоремы алгебры. Эта теорема гласит, что всякая целая функция

(с вещественными или комплексными коэффициентами) имеет вещественный или комплексный корень.

Положим ; тогда

так что

где

причем ненаписанные члены содержат лишь низшие степени а члены, свободные от сводятся просто к постоянным.

Теорема, очевидно, будет доказана, если будет установлено, что выражение обращается в нуль для некоторой системы значений и 0.

Введем в рассмотрение функцию

Тогда

так что

здесь есть непрерывная функция и 0, точное выражение которой для нас не представляет интереса.

Составим, наконец, повторные интегралы

где есть положительная постоянная, значение которой мы установим ниже.

Если бы функция никогда не равнялась нулю, то подинтегральная функция была бы непрерывна, и, по теореме 4, необходимо было бы: Мы покажем, однако, что при достаточно большом подобное равенство заведомо не выполняется; это будет свидетельствовать о том, что в круге радиуса вокруг начала функция должна принимать и нулевое значение, и теорема будет доказана.

Вычисляя внутренний интеграл для получаем:

так как из самого выражения для видно, что это и есть функция от с периодом Отсюда следует, что

Обращаясь к интегралу имеем

Для дальнейшего важно теперь рассмотреть старшие относительно члены числителя и знаменателя дроби

Так как

то

С другой стороны,

так что, окончательно, имеем:

Так как ненаписанные члены содержат низшие степени коэффициентами которых служат ограниченные функции от в, то не только

но самое стремление к пределу - происходит равномерно относительно .

Поскольку при ибо в этом случае внутренний интеграл для сводится к значению - при Когда это значение стремится к равномерно относительно в. А тогда, по теореме 1,

Таким образом, для достаточно больших интеграл будет отрицательным, и равенство станет невозможным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление