Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Равномерная сходимость интегралов

513. Определение равномерной сходимости интегралов.

При распространении изложенной теории интегралов, зависящих от параметра, на случай несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости интегралов, которое мы предварительно и выясним.

Предположим, что функция задана для всех значений и всех значений у в некоторой области Пусть, далее, при каждом у в этой области существует интеграл

По самому определению несобственного интеграла с бесконечным пределом [470]:

Таким образом, интеграл

представляющий собой функцию от А и у, при имеет пределом Если стремление этого интеграла к происходит равномерно относительно у в области то интеграл называют равномерно сходящимся относительно у для указанных значений параметра.

Это значит, что для любого найдется такое не зависящее от у число что, лишь только неравенство

будет выполняться одновременно для всех значений У в

Для примера рассмотрим интеграл

который сходится при каждом фиксированном значении

Вычислим непосредственно интеграл

При он равен 0, каково бы ни было А; если же то с помощью подстановки легко находим

Когда у фиксировано, это выражение при А, очевидно, стремится к 0, и, каково бы ни было неравенство

будет выполняться для всех где - зависит от у.

Если изменение у ограничено промежутком где с то найдется и не зависящее от у число такое, что при неравенство (3) будет выполняться сразу для всех у: достаточно за принять ибо при А будет тогда

Иными словами, наш интеграл сходится равномерно относительно у в промежутке

Иначе обстоит дело, если параметр у изменяется в промежутке На этот раз такого уже не существует (по крайней мере, если Это видно хотя бы из того, что, сколь большим ни взять А, выражение стремится к 1 при так что для достаточно малых значений у оно будет больше любого

числа Сходимость интеграла при изменении у в промежутке [0, 3] уже не будет равномерной относительно у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление