Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

287. Интегрирование выражений ...

Будем считать рациональными числами, а переменную х - изменяющейся в промежутке Тогда подстановка дает

так что дело сводится к интегрированию биномиального дифференциала [279]

Вспоминая случаи интегрируемости биномиальных дифференциалов, мы видим теперь, что интересующий нас интеграл берется в конечном

виде, I) если или есть целое число, т. е. если (или есть нечетное целое число, либо же 2) если —у есть целое число, т. е. если есть четное целое число.

Сюда же, в частности, относится случай, когда оба показателя у и - целые; впрочем, тогда выражение рационально относительно т. е. принадлежит классу выражений, уже рассмотренному в предыдущем п°.

В этом случае, если показатель (или будет нечетным, то рационализация сразу достигается подстановкой . Если же оба показателя к четные (а также если они оба нечетные), то можно для той же цели применить подстановку или

Заметим, что если показатели и оба суть положительные четные числа, то предпочтительнее другой прием, основанный на применении формул

Именно, если то при пишут

а при

В развернутом виде получится сумма членов вида

где . Те члены, у которых хоть один из показателей есть нечетное число, легко интегрируются по указанному выше способу. Остальные члены подвергаем подобному же разложению, переходя к . Так как при каждом разложении сумма показателей уменьшается, по крайней мере, вдвое, то процесс быстро завершается.

Вернемся к установленной выше зависимости (2). Мы можем теперь воспользоваться формулами приведения биномиальных интегралов [280], чтобы, полагая там установить формулы приведения для интегралов рассматриваемого типа.

Таким путем получатся следующие формулы (которые, конечно, могут быть выведены и самостоятельно):

Эти формулы вообще позволяют увеличить или уменьшить показатель или на 2 (за указанными исключениями). Если оба показателя - целые числа, то последовательным применением формул приведения можно свести дело к одному из девяти элементарных интегралов (отвечающих различным комбинациям из значений равных -1,0 или 1)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление