Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами.

Пользуясь общим критерием равномерного стремления функции к пределу можно применительно к рассматриваемому случаю сформулировать его так:

Для того чтобы интеграл (1) сходился равномерно относительно у в области необходимо и достаточно, чтобы при любом заданном нашлось такое число не завися ее от у, чтобы неравенство

выполнялось одновременно для всех у в лишь только

И здесь, как обычно, дело сводится к тому, чтобы для всех рассматриваемых значений у равномерно выполнялся принцип сходимости

Несобственный интеграл с бесконечным пределом мы в 475 уже сопоставляли с бесконечным рядом. Связь с бесконечными рядами существует и в вопросе о равномерной сходимости интеграла (1).

Как мы знаем из 504, 2°, для равномерного (относительно приближения функции [см. (2)] при к интегралу (1) необходимо и достаточно, чтобы к этому интегралу равномерно сходилась каждая последовательность функций какова бы ни была варианта стремящаяся к

Если, наконец, от «языка последовательностей» перейти к «языку бесконечных рядов», то придем к окончательному заключению, что равномерная (относительно сходимость интеграла (1) совершенно равносильна равномерной же сходимости всех рядов вида

где есть любая варианта, стремящаяся к

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление