Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

515. Достаточные призиаки равномерной сходимости.

Установим теперь некоторые признаки, по которым обыкновенно на практике судят о равномерной сходимости интегралов.

Они построены по образцу признаков Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов [430], а также близки к признакам сходимости несобственных интегралов

[476], которые мы также связывали с именами Абеля и Дирихле.

1°. Мы будем предполагать, что функция интегрируема по в каждом конечном промежутке (Ага). Если существует такая, зависящая лишь от х, функция интегрируемая в бесконечном промежутке что при всех значениях у в

то интеграл (1) сходится равномерно относительно у (в указанной области его значений).

Это непосредственно вытекает из неравенства

если воспользоваться критерием предыдущего

При указанных условиях иногда говорят, что функция имеет интегрируемую мажоранту или что интеграл (1) мажорируется сходящимся интегралом

не содержащим параметра.

2°. Более тонкие признаки, как и в 476, доставляет нам применение второй теоремы о среднем.

Рассмотрим интеграл от произведения двух функций:

предполагая функцию интегрируемой по х в любом промежутке , а функцию монотонной по х.

Если интеграл

сходится равномерно относительно у в области а функция равномерно ограничена:

то интеграл (4) сходится равномерно относительно у в области

Вместо имеем на этот раз:

Если на основании 514 взять настолько большим, чтобы при было

одновременно для всех у, то (как и в 476) нетрудно получить оценку

что [514] и доказывает наше утверждение.

3°. Аналогично п° 476, можно указать и другую комбинацию условий, налагаемых на функции

Если интеграл

будет равномерно ограничен, как функция от А и у:

при равномерно относительно у (в области то интеграл (4) сходится равномерно относительно у в области

Доказательство предоставляем читателю.

4°. В заключение заметим, что на практике чаще встречается случай, когда из двух множителей и на деле лишь один содержит параметр у. Таким образом, каждый из критериев 2°, 3° дает два частных признака (в зависимости от того, какой из этих множителей содержит

Сформулируем один из признаков, вытекающих из 2°, который наиболее часто применяется на практике:

Если интеграл

сходится, а функция монотонная по х, равномерно ограничена, то интеграл

сходится равномерно относительно у.

В качестве примера, отсюда следует равномерная относительно у, для сходимость интеграла типа

в предположении, что интеграл сходится. Действительно, обе функции: монотонно убывающие по х, ограничены единицей.

Это замечание не раз будет нам полезно в дальнейшем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление