Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

516. Другой случай равномерной сходимости.

Рассмотрим теперь функцию определенную для значений х в конечном промежутке и значений у в некоторой области пусть при она интегрируема по х (в собственном смысле или нет) от а до Тогда интеграл

будь он собственный или нет, является пределом при интеграла

Если стремление этого интеграла при к пределу происходит равномерно относительно у для значений у в области то говорят, что интеграл (5) сходится равномерно относительно у в указанной области.

Это значит, что для любого найдется такое не зависящее от у число что, лишь только неравенство

будет выполняться одновременно для всех значений у в

Нетрудно сформулировать для этого случая условие, необходимое и достаточное для равномерной сходимости. И здесь оно сводится к равномерному выполнению принципа сходимости: по числу должно найтись такое не зависящее от у число , что при выполняется неравенство

каково бы ни было у в области

Точно так же здесь можно свести вопрос о равномерной сходимости интеграла (5) к вопросу о равномерной сходимости бесконечного ряда:

какова бы ни была варианта

Наконец, переносятся на рассматриваемый случай и достаточные признаки п° 515. Предоставляем это читателю.

Мы рассматривали интеграл (5) от а до как предел интеграла (6) от а до и нас интересовал характер приближения последнего интеграла к своему пределу. Таким образом, особую роль здесь играет точка (как в 513 - точка Может понадобиться (в зависимости от обстоятельств, которые выяснятся дальше) отвести подобную же роль и другой точке промежутка. Например, тот же интеграл (5) можно рассматривать как предел при интеграла

Если последний при приближается к своему пределу равномерно относительно у, то также говорят о равномерной сходимости интеграла (5). Все сказанное выше переносится и на этот случай.

Если может возникнуть сомнение относительно того, о каком виде равномерной сходимости идет речь, говорят, что интеграл сходится равномерно (относительно у в определенной области), соответственно, при при при

Отметим, что, как правило, равномерная сходимость интеграла (5), скажем, при нас будет интересовать в тех случаях, когда именно точка оказывается особой для интеграла (5) [в смысле п° 479] - при тех или иных значениях у.

Но определение не только формально сохраняет силу и тогда, когда интеграл (5) при всех значениях у оказывается

собственным, но, как увидим, может оказаться реально полезным также и в этом случае.

Например, интеграл

для каждого значения у в промежутке где будет существовать как собственный. Однако для указанного промежутка изменения у его сходимость не будет равномерной при Действительно, неравенству

если только нельзя удовлетворить одновременно для всех значений сколь малым ни взять его левая часть при стремится к и для достаточно малых значений у будет, наверное, больше, чем .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление