Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

517. Примеры.

1) Доказать непосредственно равномерную относительно у сходимость интеграла

(для всех значений

Имеем:

откуда и вытекает требуемый результат.

2) Установить с помощью мажоранты, что интегралы

сходятся равномерно относительно для

Указание. Мажорантой будет

3) Доказать непосредственно, что интеграл

для значений не сходится равномерно относительно

Это следует из того, что, каково бы ни было

4) Доказать непосредствено, что интеграл сходится равномерно относительно а в области и неравномерно - в области

Если настолько велико, что при

где - произвольное наперед заданное число, то

по абсолютной величине будет меньше для всех лишь только

Этим доказывается первая часть утверждения.

Вторая же часть следует из того, что выражение (7) при любом стремится к пределу

когда

5) Доказать равномерную относительно а сходимость интеграла

в любом замкнутом промежутке, не содержащем

Указание. Преобразовать интеграл к виду

6) Исследовать вопрос о равномерной (относительно сходимости интеграла

Указание. С помощью двукратного интегрирования по частям интеграл приводится к виду:

отсюда ясна равномерная сходимость относительно в любом конечном промежутке.

7) Установить, что интегралы

- натуральное число) сходятся равномерно относительно в области и неравномерно - в области 0.

Мажоранта: (для области ). С другой стороны, какое бы ни взять

8) Аналогично устанавливается равномерная сходимость интеграла

относительно для и относительно q для

9) Доказать, что сходимость интеграла

будет равномерной относительно у для и не будет равномерной для .

Мажоранта для случая Далее фиксируем произвольно, но настолько малым, чтобы при тогда

10) Доказать равномерную относительно сходимость интеграла

(как при х = 0, так и при ).

Так как то мажорантой служит функция которая в промежутке [0, 1] интегрируема.

11) Непосредственно установить, что сходимость интеграла

не будет равномерной (при относительно у в промежутке [0, 1] изменения у. Имеем, при произвольном

12) То же для интеграла

Здесь интеграл

при обращается

13) Доказать, что интеграл

сходится равномерно относительно у для (как при так и при

По отношению это ясно из наличия мажоранты а для это следует из сходимости интеграла

[476] в связи с заключительным замечанием п° 515.

14) Пусть функция непрерывна для Если интеграл

сходится при то он сходится - и притом равномерно относительно А (при и при для всех значений А между а и

Доказательство. Интеграл сходится, для значений является монотонной функцией от и ограничена единицей. Отсюда интеграл

для указанных значений А сходится равномерно (при Аналогично убеждаемся в том, что интеграл

сходится равномерно относительно А для (при ).

15) Установить равномерную относительно сходимость (при интеграла

для Лги и нарушение равномерности в случае, если изменение у ограничено лишь неравенством .

В отношении первой части утверждения можно было бы воспользоваться признаком 515, 3° (ср. 4°), так как при любых

а функция монотонно убывая, стремится к нулю при

То же замечание можно сделать, непосредственно рассматривая выражение

Вторая часть утверждения вытекает из того, что это же выражение при бесконечно возрастает.

(Легко видеть, что при интеграл сходится равномерно относительно у - в любой области изменения у.)

16) Доказать, что интеграл

равномерно сходится относительно для Это следует из 515, 3°. Действительно, для

С другой стороны, выражение

не содержащее убывает с возрастанием х (по крайней мере для и стремится к 0 при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление