Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов

518. Предельный переход под знаком интеграла.

Мы займемся сейчас, главным образом, вопросом о предельном переходе под знаком интеграла, распространенного на бесконечный промежуток. Теорема 1 п° 506 на этот случай не распространяется: если даже во всем бесконечном промежутке функция при равномерно стремится к предельной функции предельный переход под знаком интеграла может оказаться недопустимым.

Рассмотрим, в виде примера, функцию

Обычными методами дифференциального исчисления легко установить, что наибольшего значения эта функция достигает при и равно оно Так как при это значение стремится к нулю, то отсюда ясно, что функция при во всем промежутке равномерно стремится к Тем не менее интеграл

при вовсе не стремится к нулю.

Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:

Теорема 1. Пусть функция при у из интегрируема (в собственном смысле) по х в промежутке при любом и в каждом таком промежутке при равномерно относительно х стремится к предельной функции Если, сверх того, интеграл

сходится равномерно относительно у (в У), то имеет место формула

Положим, как и выше,

Для этого интеграла выполнены условия теоремы 1 п° 506, поэтому

С другой стороны, очевидно,

причем дано, что здесь стремление функции к своему пределу происходит равномерно относительно у. В таком случае мы имеем право сослаться на общую теорему п° 505 о перестановке предельных переходов и утверждать существование и равенство повторных пределов, что непосредственно и приводит к (2).

Отсюда, применяя обобщенную теорему Дини [504, 4°], можно получить такое

Следствие Пусть неотрицательная функция непрерывна по х в промежутке и стремится, возрастая с возрастанием у, к предельной функции также непрерывной в указанном промежутке. Тогда из существования интеграла

уже вытекает как существование интеграла (1) (при всех у из так и наличие формулы (2).

По упомянутой теореме при указанных условиях стремление функции будет равномерным относительно х в любом конечном промежутке. Далее, в силу теоремы 1 п° 474, существует интеграл (1), так как

Функция играет одновременно и роль мажоранты [515], обеспечивающей равномерную (относительно сходимость интеграла (1). Таким образом, соблюдены все условия для применения предыдущей теоремы.

Читатель легко докажет, что предположение о существовании интеграла (6) от предельной функции может быть заменено здесь предположением о существовании конечного предела

- отсюда уже будет вытекать и существование интеграла (6), и наличие формулы (2).

В том же порядке идей можно получить и некоторое обобщение теоремы 1 п° 510, относящейся к конечному промежутку.

Теорема 1. Пусть функция (для у из интегрируема (в собственном смысле) в промежутке при любом 0 (но и в каждом таком промежутке при равномерно относительно х стремится к предельной функции Если, сверх того, интеграл

сходится (при равномерно относительно у в то имеет место формула

Доказательство ничем не отличается от только что проведенного. Легко распространяется на этот случай и следствие.

Конечно, роль точки может играть и любая другая точка промежутка. Кроме того, подобных точек в промежутке может быть и несколько.

Как и выше, с предельным переходом под знаком интеграла чаще всего приходится иметь дело применительно к последовательности функций Переходя от последовательностей

к бесконечным рядам, можно получить, таким образом, новые теоремы о почленном интегрировании функциональных рядов. Вот, например, какую форму получает следствие:

Пусть ряд

состоящий из положительных непрерывных для (или для функций, имеет для этих значений х непрерывную же сумму Если последняя в промежутке интегрируема, то в этом промежутке ряд можно интегрировать почленно. Здесь так же, как и выше, вместо интегрируемости суммы ряда, можно было бы предположить сходимость ряда интегралов:

Утверждение, очевидно, остается в силе и в том случае, когда все члены ряда отрицательны: он приводится к предыдущему простым изменением знака.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление