Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

519. Примеры.

1) С помощью разложения в ряд вычислить интегралы:

Решение, (а) Разлагаем подинтегральную функцию в ряд

все члены которого имеют отрицательный знак. Нарушается равномерность сходимости вблизи Эта точка и является для суммы ряда особой; тем не менее, в промежутке [0, 1] сумма интегрируема. Применяя последнее предложение предыдущего п°, интегрируем почленно 1 1

(б) Второй интеграл подстановкой приводится к первому. Тем не менее, для упражнения, вычислим его заново, разлагая в ряд :

все члены здесь тоже отрицательны. Равномерность сходимости на этот раз нарушается вблизи двух точек; так что упомянутое предложение

следует применить порознь, например к промежуткам и Окончательно,

2) (а) Вычислить сумму ряда

исходя из того, что

Решение. Имеем:

Хотя особенностей сумма ряда не имеет, но равномерная сходимость нарушается вблизи Так как для частичной суммы ряда имеем:

то в роли мажоранты оказывается просто постоянная и интеграл от этой суммы сходится (при равномерно относительно Этим оправдывается почленное интегрирование (теорема 1).

(б) Аналогично:

3) Исходя из формулы

вычислить сумму ряда:

Ответ.

4) Вычислить интегралы Эйлера:

Решение, (а) Разбив интеграл на два интеграла:

вычислим их порознь.

Для 1 имеем разложение в ряд

который сходится равномерно, лишь если Но частичная сумма имеет интегрируемую в [0, 1] мажоранту

следовательно, интеграл от нее сходится равномерно (как при так и при Интегрируя почленно, по теореме 1 получим:

Интеграл подстановкой приводим к виду

Применяя уже полученное выше разложение, найдем:

Таким образом,

Мы узнаем в этом выражении [см. 441, 9] разложение на простые дроби функции Окончательно,

(б) Разбивая интеграл на два, как и выше, и делая во втором ту же подстановку, получим

Очевидно, достаточно найти Прибегая к разложению подинтегральной функции в ряд, как и только что, найдем:

но [441, 9)] здесь мы узнаем разложение на простые дроби функции . Итак,

5) Найти значения интегралов

причем в обоих случаях интеграл

считать известным [см. 522, 4°, а также 523, 9)].

Решение, (а) Исходим из разложения

умножая на , интегрируем почленно

Так как исходный ряд - по умножении на дробь сходится равномерно относительно х даже во всем бесконечном промежутке, а частичные суммы его имеют мажоранту вида , то почленное интегрирование оправдано (теорема 1).

Если использовать теперь значение указанного интеграла, то окончательно получим

(б) Указание. Исходить из разложения [461, 6) (б)]

Ответ.

6) Разложить интегралы (Лаплас)

в ряды по степеням причем во всех случаях считать известным интеграл

(а) Решение. Пользуясь известным разложением косинуса и интегрируя почленно, получаем

Равномерная сходимость нашего ряда в любом конечном промежутке очевидна; частичные суммы его имеют мажоранту:

интегрируемую от 0 до Этим установлена законность почленного интегрирования.

Остается определить интеграл Интегрируя по частям, легко придем к рекуррентной формуле:

Подставляя это в полученное разложение, найдем окончательно:

Ответ.

Аналогично получается разложение:

но на этот раз к «конечной» формуле оно не приводит. Впоследствии, другим путем, мы выясним характер новой (уже неэлементарной) функции, которая нужна была бы для выражения нашего интеграла [523, 5) (б)].

7) Найти значение интеграла

Решение. Разложив

в прогрессию, получим положительный ряд

который сходится равномерно в любом промежутке Так как сумма ряда интегрируема в промежутке то почленное интегрирование оправдано

Вспоминая, что число Бернулли имеет выражение

[449], окончательно получим

8) Найти выражение для интегралов (Лежандр):

Решение, (а) Разложение

тоже сходится равномерно в любом промежутке , его частичные суммы мажорируются функхдаей Поэтому допустимо почленное интегрирование:

(б) Аналогично получаем (пользуясь той же мажорантой):

Замечание. Естественно было бы также искать значения предложенных интегралов путем разложения в ряд. В случае (а), например, мы пришли

бы к интегралам, рассмотренным в 7), а для получения результата в конечном виде могли бы использовать известное разложение

Но этот метод имеет принципиальный недостаток - он требует предположения в то время как результат верен для любого .

9) Если в элементарной формуле

положить то получим:

Функция монотонно убывая с возрастанием стремится к пределу Опираясь на следствие п° 518 (которое сохраняет силу и для монотонно убывающей функции), можно здесь перейти к пределу при под знаком интеграла. Если для определения предела правой части воспользоваться формулой Валлиса 317, то окончательно получим результат

10) Известный интеграл

если положить здесь может быть переписан в виде

Переход к пределу при здесь затруднен тем обстоятельством, что от параметра зависит не только подинтегральная функция, но и верхний предел интеграла.

Полагая, однако,

и

можно написать и так:

Очевидно, каково бы ни было ,

причем приближение функции к своему пределу в любом конечном промежутке будет равномерным. С другой стороны, известно, что для

поэтому для

это неравенство тем более выполняется при ибо тогда

Применяя теорему 1, п° 518, можем в равенстве (7) перейти к пределу при под знаком интеграла, что приводит нас к результату

11) Другой пример того же рода. Известно [см. 440, 10)], что

где - натуральное число и Положим здесь считая получим:

Переходя здесь к пределу при знаком интеграла», не стесняясь тем, что и верхний предел здесь растет вместе с (его мы заменим на ), получим:

Но верно ли это? Постараемся обосновать выполненный предельный переход. Введем и здесь функцию

при так что левая часть интересующего нас равенства перепишется так:

Очевидно,

причем в конечном промежутке стремление происходит равномерно. Наконец, мажорантой может служить функция

если и рассматривать только значения Остается сослаться на теорему 1 п° 518.

12) Необходимость обоснования предельного перехода в примерах 10) и 11) подчеркивается следующим сходным с ними примером, где, однако, такого обоснования дать нельзя; результат же не подкрепленного обоснованием предельного перехода оказывается неверным.

Рассмотрим интеграл

если с ним поступить, устремляя к как в предыдущих примерах, то получится, что

На деле же (как легко убедиться с помощью замены переменной) интеграл сохраняет постоянное значение

Приведем еще два нешаблонных примера, интересных, как увидим, в другом отношении.

13) Вычислить интеграл (где а - любое число)

[ср. 478, 8)(а)], считая известным интеграл

[см. 492, 3°; 493 5).

Удобно ввести комплексную переменную

тогда [457, (6)]

разлагается в ряд

Приравнивая мнимые части, мы и получим разложение того выражения, которое стоит первым множителем под знаком интеграла:

отсюда

Если бы можно было здесь произвести интегрирование почленно, то сразу получили бы:

Но обосновывать право на это в данном случае приходится своеобразно.

Так как ряд, стоящий под знаком интеграла, мажорируется постоянным рядом

то в конечном промежутке интегрирование можно произвести почленно:

Остается перейти к пределу при . Но, как нетрудно видеть, ввиду самого существования интеграла при всех значениях будет равномерно ограничен:

Тогда ряд (8), члены которого зависят от переменного А, мажорируется постоянным рядом

и, следовательно, сходится равномерно относительно А. В таком случае, по известной теореме [433], в нем можно перейти почленно к пределу при А чем и завершается доказательство.

14) Другой пример того же рода. Пусть ряд

сходится, и положим для

этот ряд также сходится, и притом - в любом конечном промежутке [0, А] - равномерно относительно х [по признакам Абеля - Дирихле, см. 430], так как множитель , по крайней мере для убывает с возрастанием . Доказать, что тогда

Результат получается сразу, если проинтегрировать почленно

ибо [489, 4)]. Обратимся теперь к обоснованию права на это.

Как и только что, в конечном промежутке почленное интегрирование допустимо:

Интегрируя по частям, легко показать, что

так что множители

зависящие от монотонно убывают с возрастанием (при оставаясь равномерно ограниченными. В таком случае (по только что указанному признаку) ряд в (10) справа сходится равномерно относительно А, а значит, в нем можно перейти к пределу при А - почленно, и т. д.

Приведем два примера применения полученной изящной формулы (9).

(а) Рассмотрим так называемый интегральный синус

Этот рад составляется по типу исходя из ряда

По формуле (9) тогда

(б) Другая интересная функция - функция Бесселя с нулевым значком имеет разложение [441, 4), 5):

которое составляется по типу если положить

Тогда, в силу (9),

окончательный результат получается здесь, если вспомнить разложение функции в биномиальный ряд [407 (24)] и положить в нем

Замечание. Поучительно разобраться, в чем состоит особенность примененного в двух последних примерах метода рассуждения - по сравнению с прочими примерами на почленное интегрирование рядов в бесконечном промежутке.

Если вернуться к общему вопросу о предельном переходе под знаком интеграла с бесконечным пределом [518], то он оказывается равносильным вопросу о существовании и равенстве обоих повторных пределов для некоторой функции двух аргументов [см. (3)]. Согласно общей теореме п° 505 достаточным условием в этом случае является - при наличии обоих простых пределов - равномерное стремление функции к одному из них, (4) или (5), и притом все равно к какому. Обычно мы предполагали такую равномерность в отношении предела (5), что и отвечало «равномерной сходимости интеграла» с бесконечным пределом. Но заключение оставалось бы в полной силе, если бы вместо этого равномерным было приближение функции к пределу

В случае ряда с частичными суммами можно, таким образом, либо устанавливать равномерное (относительно приближение функции

при к пределу т. е. «равномерную сходимость» этих интегралов, что мы обычно и делали, либо же убеждаться в равномерном (относительно А) приближении названной функции при к пределу т. е. в равномерной (относительно А) сходимости ряда

что оказалось более удобным для нас в примерах 13) и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление