Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру.

Займемся и здесь сначала переносом теорем 2 и и 507 на случай бесконечного промежутка.

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна (как функция двух переменных) для значений и значений у в

промежутке Если интеграл

сходится равномерно относительно у в промежутке то он представляет собою непрерывную функцию от параметра у в этом промежутке.

Это следствие из теоремы 1. Действительно, как мы видели в 506, при изменении в любом конечном промежутке , функция при - любое частное значение равномерно относительно стремится к предельной функции . А тогда, по теореме 1, в интеграле (1) можно перейти к пределу под знаком интеграла:

что и доказывает наше утверждение.

В п° 485, описывая методы, с помощью которых расходящимся интегралам приписываются «обобщенные значения», мы оставили открытым вопрос о регулярности второго из этих методов. С помощью только что доказанной теоремы мы в состоянии теперь восполнить этот пробел. Если интеграл сходится, то интеграл равномерно сходится относительно параметра к, для (см. замечание в конце п° 515) и, следовательно - по крайней мере, в случае непрерывности - представляет непрерывную функцию от параметра к, для . В частности, имеем:

Таким образом, величина сходящегося интеграла совпадает с его «обобщенным значением»; в этом и состоит упомянутая регулярность.

Замечание. В случае, если функция неотрицательна: имеет место в некотором смысле обратная теорема: из непрерывности интеграла (1), как функции от параметра, вытекает равномерная его сходимость.

В этом случае непрерывная функция от у

при возрастании А возрастает и, следовательно (по обобщенной теореме Дини, 504,4°), стремится к своему пределу (1) равномерно относительно у, ч. и тр. д.

Теорема 3. Пусть функция определена и непрерывна по х для и, сверх того, имеет для указанных значений непрерывную по обеим переменным производную Предположим, далее, что интеграл (1) сходится для всех у в а интеграл

сходится равномерно относительно у в том же промежутке. Тогда при любом у из имеет место формула

Взяв частное значение рассмотрим отношение

и докажем, что здесь допустим предельный переход по параметру под знаком интеграла.

Мы уже видели в 507, что если х изменяется в любом конечном промежутке , подинтегральная функция стремится при к предельной функции равномерно относительно х. Для того чтобы иметь право применить теорему 1, нам следовало бы еще убедиться в равномерной сходимости интеграла (12) относительно к.

Ввиду предположенной равномерной сходимости интеграла (11), по любому найдется такое что, лишь только будет

для всех у зараз 1514]. Покажем, что одновременно будет и

для всех возможных значений к.

Для этой цели (фиксируя А и А) рассмотрим функцию

По теореме 3 п° 507 ее производная вычисляется по правилу Лейбница:

и, ввиду (13), по абсолютной величине всегда . Но тогда и отношение

которое по формуле Лагранжа равно тоже по абсолютной величине будет т. е. выполняется (14). Отсюда, по признаку п° 514, следует равномерная сходимость интеграла (12), чем и завершается доказательство.

Легко получить и обобщение теорем 2 и 3 п° 510, относящихся к конечному промежутку стоит лишь, ничего не меняя по существу в приведенных здесь формулировках и рассуждениях, заменить точку точкой (как это сделано, например, при переходе от теоремы 1 к теореме 1).

Замечание. В излагаемой здесь теории мы не пользуемся связью интегралов с рядами, предпочитая выдвигать повсюду ту идею, которая в действительности является основой всех умозаключений, - идею равномерного стремления к предельной функции. Однако в иных случаях ссылка на уже развитую теорию рядов могла бы создать формальное упрощение в рассуждениях. Разъясним это, дав новое доказательство теоремы 3 (где упомянутое упрощение более значительно).

Заменим интеграл рядом [477]

Члены этого рада

в силу теорем 2 и 3 пп° 506 и 507 непрерывны и имеют непрерывные же производные

К тому же ряд, составленный из этих производных, сходится равномерно относительно у в промежутке , как это следует из равномерной сходимости интеграла (11) [514]. Тогда, по теореме о почленном дифференцировании ряда [435], существует производная

что и доказывает требуемое.

Тот же прием можно применить и к доказательству теорем 1 и 2 п° 518 и 520 (а также теоремы 4 из следующего п°), со ссылкой на соответствующие теоремы из теории функциональных рядов. Осуществление этого предоставляем читателю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление