Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

521. Интегрирование интеграла по параметру.

Сначала докажем следующую теорему: Теорема 4. При предположениях теоремы 2 имеет место формула:

Действительно, по теореме 4 п° 508 для любого конечного справедливо равенство

Но, по предположению, функция (3), непрерывная по у, при стремится к своему пределу (1) равномерно относительно у. Следовательно, по теореме 1 п° 506, в интеграле слева можно перейти к пределу по под знаком интеграла, т. е.

В таком случае существует и предел при интеграла справа, т. е. интеграл

и имеет то же значение, ч. и тр. д.

Если воспользоваться замечанием к теореме 2 [520], то легко вывести отсюда такое

Следствие. В случае неотрицательной функции одна непрерывность интеграла (1) по у влечет за собой формулу (15).

Таким образом, мы - при известных условиях - установили право переставлять два интеграла, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток, а другой - на конечный.

Между тем во многих случаях как раз приходится переставлять интегралы, взятые оба в бесконечных промежутках, по формуле

Оправдать такую перестановку часто представляется делом сложным и кропотливым, чему читатель ниже найдет много примеров.

Лишь для узкого класса случаев удается обосновать формулу (16) общими соображениями:

Теорема 5. Пусть определена и непрерывна для Предположим, далее, что оба интеграла

сходятся равномерно, первый - относительно у, а второй - относительно х, в любом конечном промежутке. Тогда, если хоть один из двух повторных интегралов

существует, то существуют и равны повторные интегралы (16). Допустим, что существует второй из интегралов (18). Ввиду равномерной сходимости интеграла по предыдущей теореме, для любого конечного будем иметь с

Остается доказать, что в интеграле справа при допустим предельный переход под знаком интеграла, ибо тогда будет существовать

Оправдать упомянутый предельный переход можно, опираясь на теорему 1 [518]. Функция от я: и С

непрерывная по х [теорема 2, 506], при стремится к предельной функции

равномерно относительно я: в любом конечном промежутке. Интеграл же

сходится равномерно относительно С, потому что мажорируется вторым из интегралов (18), поскольку

Таким образом, все условия теоремы 1 здесь выполнены, и наше утверждение оправдано.

Несколько проще обстоит дело в случае функции, не меняющей знака. Например, для неотрицательной функции (этим случаем достаточно ограничиться) имеет место

Следствие. Пусть для неотрицательной непрерывной функции оба интеграла (17) также представляют собой непрерывные функции, первый - от у, а второй - от х. Тогда, если существует один из повторных интегралов (16), то существует и другой и притом — равный первому.

По теореме 2 и замечанию к ней явствует, что предположение о непрерывности интегралов (17) равносильно требованию их равномерной сходимости. Остается применить предыдущую теорему, отметив, что в данном случае

Предложения настоящего п° также могут быть перефразированы на случай конечных промежутков; при этом особая точка лишь заменяется конечной особой точкой а также (если нужно) точка точкой .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление