Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла.

1) Найти значения интегралов

путем интегрирования под знаком интеграла.

Решение, (а) Интеграл

сходится равномерно относительно у для . Интегрируя это равенство по у от а до причем слева интегрирование можно произвести под знаком интеграла, получим

б) Аналогично, исходя из интеграла

который также сходится равномерно относительно у для найдем:

2) Рассмотрим полный эллиптический интеграл 1-го рода

как функцию от модуля к, и найдем интеграл от этой функции в промежутке .

Имеем

что подстановкой приводит к удвоенному интегралу

[G - «постоянная Каталана», см. 328, 6) и 440, 6а)].

Перестановка интегралов производится на основании (модифицированного) следствия из теоремы 5. Подинтегральная функция повсюду в прямоугольнике положительна и непрерывна, за исключением точки где она обращается в Интеграл

есть непрерывная функция от к для значений к а интеграл

- непрерывная функция от для значений Наконец, второй из повторных интегралов, очевидно, существует. Таким образом, все условия названного следствия выполнены.

В ближайших нескольких примерах будем вновь иметь дело с уже знакомой нам функцией Бесселя с нулевым значком [440, 12); 441, 4)]

но в основу наших умозаключений положим «асимптотическую» формулу для которую примем без доказательства. Вот эта формула:

где при безграничном возрастании х остается ограниченной:

3) Вычислить интеграл

Имеем

Перестановка интегралов дозволительна ввиду равномерной (относительно О сходимости интеграла

(мажоранта:

Так как из (21) явствует, что интеграл

сходится то интеграл А будет непрерывной функцией от а и при [теор. 2; 515, 4°]. Поэтому значение этого интеграла может быть получено из выражения для А предельным переходом при Таким образом,

4) Вычислить интеграл

Имеем

Но внутренний интеграл есть «разрывный множитель» Дирихле [497, 11)]

Поэтому

Установим дозволительность перестановки интегралов. Имеем

Но можно написать внутренний интеграл в виде:

Если так что , то это выражение при стремится к своему пределу равномерно относительно 0, иными словами, интеграл сходится равномерно, и перестановка интегралов оправдана. При равномерность нарушается вблизи . Но так как выражение (22) остается равномерно ограниченным при всех А и в (мажорируется постоянной!), то наружный интеграл при а сходится равномерно относительно А, так что предельный переход при под знаком интеграла все же допустим, чем снова оправдана перестановка интегралов.

5) Из интеграла В, дифференцированием по параметру а, получаем другой интересный интеграл:

Для обоснования права на дифференцирование под знаком интеграла заметим, что интеграл С сходится равномерно относительно а в любом замкнутом промежутке значений а, не содержащем единицы. Это следует из асимптотической формулы (21). Переписав ее в виде

умножим обе части на

Второе слагаемое мажорируется функцией Что же касается интеграла от первого слагаемого, то при и он сходится равномерно.

Та же формула показывает, что при интеграл С расходится.

6) Вычислить интеграл

Имеем

[см. 497,16) (б)]. Таким образом [497, 7) и 511, 7)]:

Для обоснования перестановки интегралов напишем сначала для конечного А:

Весь вопрос теперь в том, можно ли справа здесь перейти к делу при А под знаком интеграла.

Чтобы исследовать характер стремления внутреннего интеграла к своему пределу, рассмотрим интеграл

Ввиду существования интеграла ясно, что, взяв достаточно большими, можно сделать эту сумму сколь угодно малой сразу для всех значений 0 в любом замкнутом промежутке, не содержащем ни 0, ни а (если Таким образом, равномерность стремления внутреннего интеграла к своему пределу при нарушается лишь вблизи одного или двух указанных значений 0.

Но, с другой стороны, этот внутренний интеграл мажорируется функцией которая интегрируема в промежутке значит, наружный интеграл равномерно сходится как при так и при а (если ). Тогда, по теореме 1 п° 518, упомянутый выше предельный переход допустим.

7) Отсюда дифференцированием по параметру найдется интеграл:

Обоснование проводится сходно с 5), опираясь на формулу (21). При интеграл расходится.

8) (а) Проверить непосредственно допустимость перестановки интеграла в случае

Имеем:

так что

В то же время для другого повторного интеграла

аналогично получается значение перестановка недопустима.

Любопытно отметить, что [как мы убедились в 517, 1)] интеграл

сходится равномерно относительно у для всех аналогично устанавливается и равномерная относительно х (для ) сходимость интеграла

Теорема 5 здесь неприменима потому, что (как легко проверить непосредственно) интегралы

расходятся!

(б) Легко установить недопустимость перестановки интегрирований и в следующем случае:

Здесь интеграл

- как это ясно уже из теоремы 4 - не может быть равномерно сходящимся относительно у в промежутке [0, 1] (в чем легко убедиться и непосредственно), (в) Еще изящный пример того же типа (Харди):

что не равно нулю, если взять

9) Приведем два новых приема для вычисления интеграла Лапласа:

Так как

то, подставляя, представим в виде

Переставляя интегрирования, получим

Но последний интеграл, с точностью до знака, представляет собой так что удовлетворяет простому дифференциальному уравнению

Так как при то, окончательно,

Остается еще обосновать перестановку интегралов. Если то легко убедиться в справедливости равенств:

Равномерная сходимость всех интегралов, соответственно, относительно а и А позволяет перейти под знаком интеграла к пределу при и при Отсюда ясно, что рассматриваемое выражение при указанном двойном предельном переходе действительно стремится к пределу

10) Используя другое тождество

можно написать:

Переставляя здесь интегралы

мы в качестве внутреннего интеграла получаем «разрывный множитель» Дирихле [497, 11)]

Таким образом,

Для обоснования перестановки интегралов заметим, что интеграл

сходится равномерно относительно х (мажоранта ). Поэтому

Можно ли в последнем интеграле (по перейти к пределу при под знаком интеграла? Подинтегральное выражение есть произведение на

и стремится при к своему пределу равномерно относительно у, исключая окрестность точки Так как второй множитель равномерно ограничен при всех А и у, то подинтегральное выражение имеет мажоранту вида так что при (наружный) интеграл сходится равномерно относительно А. Этим оправдывается предельный переход под знаком интеграла, а с ним и перестановка интегралов.

11) В заключение укажем еще один изящный вывод значения интеграла

Так как

то

Займемся вопросом о законности перестановки интегралов. Взяв легко оправдать равенства

Так как последние два интеграла сходятся равномерно относительно А (для то, переходя к пределу при под знаком интеграла, видим, что оба они стремятся к 0. Второй интеграл, равномерно сходящийся относительно а (для ), очевидно, стремится к при Остается убедиться в том, что первый интеграл, умноженный на а, при этом предельном переходе стремится к 0. Имеем:

Отсюда и вытекает требуемое заключение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление