Главная > Математика > Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

526. Предельный переход под знаком интеграла.

Теперь вместо теоремы 6 п° 436 мы установим следующую теорему, где требование равномерного стремления функции к своему пределу заменено более общим условием ограниченности ее:

Теорема 1 (Арцела). Пусть дана последовательность функций

интегрируемых (в собственном смысле) в промежутке и ограниченных в их совокупности:

Если для всех существует предел

и функция также интегрируема, то

Доказательство. Ограничимся вначале частным предположением, что функции неотрицательны:

и имеют пределом нуль:

В этом предположении нам нужно будет доказать, что

Взяв последовательность положительных чисел мы для каждого можем разложить промежуток на части так, чтобы соответствующая нижняя сумма Дарбу :

удовлетворяла неравенству

Тогда, очевидно,

и для доказательства (2) нам достаточно установить, что

С этой целью, взяв произвольно малые числа установим, что найдется такой номер что при сумма длин тех из промежутков подразделения, которым отвечают нижние границы будет

Действительно, допустим, что это не так. Тогда для бесконечного множества значений

сумма длин тех промежутков для которых была бы . К системам составленным из этих промежутков, применима лемма предыдущего п°. В согласии с ней нашлась бы в такая точка с, которая принадлежала бы бесконечному множеству систем Таким образом, для бесконечного множества значений и выполнялось бы неравенство

а это противоречит предположению (1), которое должно выполняться и при

Итак, упомянутый номер существует; пусть же Обозначим через номера тех промежутков подразделения, для которых, соответственно, будет

Сообразно с этим разобьем и сумму:

Теперь легко видеть, что

ибо, конечно, (по условию теоремы). Отсюда

что - ввиду произвольности чисел - и доказывает утверждение (3).

Общий случай легко приводится к исчерпанному только что частному случаю. В самом деле, ввиду неравенства

достаточно применить доказанное к неотрицательной функции стремящейся к нулю.

Следствие. При выполнении всех условий теоремы, кроме предположения об интегрируемости предельной функции, во всяком случае можно утверждать существование конечного предела

Для доказательства достаточно [39] установить, что для любого найдется такой номер, что при будет

Допустим противное. Тогда существует такое число и такие две последовательности неограниченно возрастающих чисел что всегда выполняется соотношение

С другой стороны,

Если к функции

применить предыдущую теорему, то получим:

что противоречит соотношению (4). Это противоречие и доказывает наше утверждение.

От параметра принимающего лишь натуральные значения, легко перейти и к произвольному параметру теорему 1 п° 506]:

Теорема 2. Пусть функция определена для значений х в промежутке и значений у в области интегрируема по (при постоянном и равномерно ограничена

для всех упомянутых значений х и у. Если для всех х существует предельная функция

также интегрируемая в то

Достаточно применить теорему 1 к функции где есть произвольная последовательность значений у из 1, стремящаяся к Получаемое таким путем соотношение

равносильно (5).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление